Estimando el número de bolas seleccionando sucesivamente una bola y marcándola

Digamos que tengo N bolas en una bolsa. En mi primer sorteo, marco la pelota y la vuelvo a colocar en la bolsa. En mi segundo sorteo, si recojo una pelota marcada, la devuelvo a la bolsa. Sin embargo, si recojo una bola no marcada, la marco y la devuelvo a la bolsa. Continúo esto para cualquier número de sorteos. ¿Cuál es el número esperado de bolas en la bolsa dados un número de sorteos y el historial de sorteos marcado / sin marcar?

Aquí hay una idea. Let un subconjunto finito de los números naturales que servirán como los posibles valores para . Supongamos que tenemos una distribución previa sobre . Fijar un número entero positivo no aleatoria . Sea la variable aleatoria que denota el número de veces que marcamos una bola en extrae de la bolsa. El objetivo es encontrar . Esta será función de y la anterior. N I M k M E ( N | k ) M , $\mathcal{I}$$N$$\mathcal{I}$$M$$k$$M$$E(N|k)$$M,k$

Por regla de Bayes tenemos

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

Calcular es un cálculo conocido que es una variante del problema de los colectores de cupones. es la probabilidad de que observemos cupones distintos en sorteos cuando hay cupones en total. Vea aquí un argumento paraP ( k | N = j ) k M $P(k|N=j)$$P(k|N=j)$$k$$M$$j$

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

donde denota un número stirling del segundo tipo . Entonces podemos calcular$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

A continuación se presentan algunos cálculos para varios y . En cada caso usamos un uniforme antes en$k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$