¿Cómo desarrollar la intuición para la probabilidad condicional?

En las conferencias en video del curso de Estadística 110: Probabilidad de Harvard que se puede encontrar en iTunes y YouTube, me encontré con este problema. Traté de resumirlo aquí:

Supongamos que se nos da una mano aleatoria de dos cartas de un mazo estándar.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases dado que tenemos al menos un as?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Como tener al menos un as está implícito si tienes ambos ases, la intersección se puede reducir a solo$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Esto es solo entonces

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases dado que tenemos el as de espadas?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Ahora, en algún lugar de estos ejemplos me perdí ...

Esto último es obviamente igual que $\frac{3}{51}$ , lo que tiene mucho sentido (para mí) de que esta sería la respuesta. Si te dicen que tienes el as de (digamos) espadas, entonces sabes que hay $3$ ases más y $51$ cartas más.

Pero en el primer ejemplo, las matemáticas parecen estar bien (y creo que el profesor no daría este ejemplo si fuera incorrecto ...), pero no puedo entenderlo.

¿Cómo obtengo algo de intuición para este problema?

Para ayudar a la intuición, considere visualizar dos eventos (conjuntos de resultados):

1. El evento de condicionamiento, que es la información dada.

2. El evento condicionado, cuya probabilidad te gustaría encontrar.

La probabilidad condicional se encuentra dividiendo la probabilidad del segundo por la probabilidad del primero.

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Hay formas igualmente probables de repartir dos cartas al azar. Una forma conveniente de visualizar estos tratos es colocarlos en una tabla con filas (digamos) que designan la primera carta repartida y columnas de la segunda carta en el trato. Aquí hay una parte de esta tabla, con puntos suspensivos ( ) que designan las partes que faltan. Tenga en cuenta que debido a que las dos cartas no pueden ser iguales, no existen entradas a lo largo de la diagonal principal de la tabla. Las filas y columnas están ordenadas desde ases hasta reyes:$52 \times 51$$\cdots$

Las preguntas se centran en ases. La información "tenemos al menos un as" ubica al par dentro de las primeras cuatro filas o las primeras cuatro columnas. En nuestra mente, podemos visualizar eso esquemáticamente coloreando estas filas y columnas. Los he coloreado de rojo, pero donde aparecen ambos ases los he coloreado de negro:

Hay pares de todos los ases y otros pares con al menos un as, para un total de pares en los que estás condicionando, como se representa por las áreas rojas y negras. Debido a que todos estos pares son igualmente probables, la posibilidad de que el primero sea$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

Es la fracción negra de la región roja + negra.

La segunda pregunta afirma "tenemos el as de espadas". Esto corresponde solo a la primera fila y columna:

Ahora solo hay esos pares con dos ases y otros pares con el as de espadas, para un total de esos pares. Razonando exactamente como antes, la posibilidad de dos ases es$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Nuevamente es la fracción negra de la región roja + negra.

Como referencia, la última figura incluye la anterior que se muestra en rosa y gris. La comparación de estas regiones revela lo que sucedió: al pasar de la primera pregunta a la segunda, el número de pares en el evento de acondicionamiento (rosa) se redujo a aproximadamente un cuarto de su conteo original (rojo), mientras que el número de pares en cuestión se redujo en solo la mitad (de gris a negro, de a ).$12$$6$

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He encontrado que tales figuras esquemáticas son útiles incluso, quizás especialmente, cuando trato de comprender conceptos más complicados de probabilidad, como las filtraciones de álgebras sigma .

Una forma diferente de configurar un problema que conduce al segundo cálculo es la siguiente:

Robas dos cartas del mazo. ¿Cuál es la probabilidad de dos ases dado que la primera carta que robaste era un as?

Esta redacción facilita el contraste con el primer cálculo. La posibilidad subyacente de haber elegido dos ases no cambia, pero la condición de tener la primera carta como un as es más restrictiva que la condición si es un as. Esto significa que en el cálculo de probabilidad condicional la combinación deseada tiene que ocurrir entre menos opciones, por lo que tiene una mayor probabilidad.

Las dos frases diferentes (as de picas versus primera carta como as) son similares, porque rompen la simetría / intercambiabilidad entre los ases: el palo o la orden no pueden intercambiarse arbitrariamente.

Al principio fue difícil para mí tener alguna intuición.

Una idea es llevar el problema al límite. En este caso, como Steve señaló, un problema idéntico es: mi vecino tiene dos hijos; usted sabe que uno de ellos es un niño. ¿Cuál es la probabilidad de que ella tenga dos hijos?

La primera idea es, vale, tengo un niño, el otro niño tiene 1/2 oportunidad de ser niña y 1/2 de ser niño, pero en este caso no está tomando toda la información que le da el hecho ( al menos usted tiene un niño) porque está implícito que este niño puede ser el niño más joven siendo el mayor una niña o viceversa o ambos son niños, lo que significa que solo uno de los tres resultados posibles es favorable.

Como dije, es más fácil llevar el problema al límite ...

Caso 1: Caso abstracto idéntico a "tenemos un as" -> En este caso imagina que mi vecino no tiene 2 hijos sino 27, y usted sabe que 26 son niños, la probabilidad de que esto sea casi cero. En este caso, está claro que esta información le da mucha información de que, hablando probabilísticamente, el niño restante es una niña. Para ser precisos, tendrá un caso con 27 niños, digamos una tupla (b, b, b, b, b, b ..., b) y 27 casos con 1 niña y 26 niños (g, b, b , b ...), (b, g, b, b, b ...), por lo que la probabilidad de todos los niños es 1/27, en general será 1 / (N + 1)

caso2: información concreta. Esto sería idéntico a "Tenemos el as de espadas" o "tenemos la primera carta como un as". En este caso imagina que nuestro vecino tiene 26 hijos, todos niños y está embarazada del 27. ¿Cuál es la probabilidad de que el 27 sea un niño?

Con el caso 2, estoy bastante seguro de que todos podemos comprender la intuición necesaria para este tipo de problemas de probabilidades condicionales no tan obvios.

Si quieres hacerte rico, tienes que apostar en el primer caso con 26 niños y un 27 porque la falta de información concreta significa mucha energía probabilística en el niño restante, mientras que en el segundo caso, la entropía es enorme, tenemos No hay información para saber dónde apostar.

Espero que esto sea útil

¿Cómo se puede decir que la respuesta es 3/51 sin calcular?

Si tomaste el as de espadas en primer lugar. Sé qué cartas hay en el paquete. Así que todavía hay 3 ases en 51 cartas. así que para el segundo, tienes 3/51 posibilidades de tener dos ases.

¿Y cómo entender la diferencia entre los dos escenarios intuitivamente?

Es porque "Tener un as" está incluido en "Tener dos ases". Pero "Tener el as de espadas" no está incluido en "Tener dos ases". Esta es la diferencia

De hecho, si tienes dos as, tienes uno pero quizás no el as de espadas. Entonces no es la misma probabilidad.

Esta respuesta fue para otra publicación que se movió en esta.