Cómo generar datos de supervivencia con covariables dependientes del tiempo usando R

Quiero generar tiempo de supervivencia a partir de un modelo de riesgos proporcionales de Cox que contiene una covariable dependiente del tiempo. El modelo es

$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i + \alpha m_{i}(t))$

donde se genera a partir de Binomial (1,0.5) y .m i ( t ) = β 0 + β 1 X i + β 2 X i$X_i$$m_{i}(t)=\beta_0 + \beta_1 X_{i} + \beta_2 X_{i} t$

Los valores de parámetros verdaderos se utilizan como$\gamma = 1.5, \beta_0 = 0, \beta_1 = -1, \beta_2 = -1.5, h_0(t) = 1$

Para la covariable independiente del tiempo (es decir, lo siguiente$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i)$

#For time independent case
# h_0(t) = 1
gamma <- -1
u <- runif(n=100,min=0,max=1)
Xi <- rbinom(n=100,size=1,prob=0.5)
T <- -log(u)/exp(gamma*Xi)

¿Alguien puede ayudarme a generar datos de supervivencia con una covariable variable en el tiempo?

De acuerdo con su código R, está asumiendo una distribución exponencial (peligro constante) para su riesgo de referencia. Sus funciones de peligro son por lo tanto:

$$h\left(t \mid X_i\right) = \begin{cases} \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i = 0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 t\right)\right)} & \text{if $X_i = 1$.} \end{cases}$$

$t$

$$\begin{align} \Lambda\left(t\mid X_i\right) &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \int_0^t{\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 \tau\right)\right)} \,d\tau} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \\ &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right) & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$$

Estos nos dan las funciones de supervivencia:

$$\begin{align} S\left(t\right) &= \exp{\left(-\Lambda\left(t\right)\right)} \\ &= \begin{cases} \exp{\left(-t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)}\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(-\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right)\right)} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$$

Luego se genera muestreando y , sustituyendo por y reorganizando la fórmula apropiada (basada en ) para simular . Esto debería ser un álgebra sencilla que luego puede codificar en R, pero hágamelo saber por comentario si necesita más ayuda. U ∼ U n i f o r m ( 0 , 1 ) U S ( t ) X i$X_i$$U\sim\mathrm{Uniform\left(0,1\right)}$$U$$S\left(t\right)$$X_i$$t$