¿Distribuciones estables que se pueden multiplicar?

Las distribuciones estables son invariables bajo convoluciones. ¿Qué subfamilias de las distribuciones estables también están cerradas bajo multiplicación? En el sentido de que si y , entonces la función de densidad de probabilidad del producto, (hasta una constante de normalización) también pertenece a ?f ∈ F g ∈ F f ⋅ g $F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

Nota: Cambié sustancialmente el contenido de esta pregunta. Pero la idea es esencialmente la misma, y ​​ahora es mucho más simple. Solo tuve una respuesta parcial, así que creo que está bien.

Una "distribución estable" es un tipo particular de familia de distribuciones a escala de ubicación. La clase de distribuciones estables está parametrizada por dos números reales, la estabilidad y la asimetría .β ∈ [ - 1 , 1 $\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Un resultado citado en el artículo de Wikipedia resuelve esta pregunta sobre el cierre en productos de funciones de densidad. Cuando es la densidad de una distribución estable con , entonces asintóticamenteα < $f$$\alpha \lt 2$

para una función dada explícitamente cuyos detalles no importan. (En particular, será distinto de cero para todas las positivas o todas las negativas o ambas). Por lo tanto, el producto de cualquiera de estas dos densidades será asintóticamente proporcional a en Al menos una cola. Dado que , este producto (después de la renormalización) no puede corresponder a ninguna distribución en la misma familia estable.g x x | x | - 2 ( 1 + α ) 2 ( 1 + α ) ≠ 1 + $g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(De hecho, debido a que para cualquier posible , el producto de cualquiera de estas tres funciones de densidad ni siquiera puede ser la función de densidad de cualquier distribución estable. Eso destruye cualquier esperanza de extender la idea del cierre del producto de una única distribución estable a un conjunto de distribuciones estables).α ′ ∈ ( 0 , 2 $3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

La única posibilidad restante es . Estas son las distribuciones normales, con densidades proporcionales a para los parámetros de ubicación y escala y . Es sencillo verificar que un producto de dos de esas expresiones tenga la misma forma (porque la suma de dos formas cuadráticas en es otra forma cuadrática en ).exp ( - ( x - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ) μ σ x $\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

La respuesta única, entonces, es que la familia de distribución Normal es la única distribución estable de producto de densidad cerrada.

Sé que esta es una respuesta parcial y no soy un experto, pero esto podría ayudar: si uno de los dos archivos PDF unimodales es cóncavo logarítmico, entonces su convolución es unimodal. Debido a Ibragimov (1956) , a través de estas notas . Aparentemente, si ambos son log-cóncavos, entonces la convolución también es log-cóncava.

En cuanto al cierre del producto, el único resultado "limpio" que conozco para las distribuciones de productos es el teorema del límite descrito en esta respuesta matemática .

¿Qué tal una versión truncada de estos ? La distribución uniforme limitada es un caso limitante de su parámetro de forma, y ​​que yo sepa, son unimodales y log-cóncavos, por lo que tienen convoluciones unimodales, log-cóncavas. No tengo idea de sus productos. Cuando tenga más tiempo más adelante esta semana, podría intentar ejecutar algunas simulaciones para ver si obtengo productos cóncavos logarítmicos de distribuciones de error truncadas. Quizás Govindarajulu (1966) ayudaría.

No estoy seguro de cuál es la política de crossposting, pero parece que las personas de matemáticas.se podrían ayudarlo también. Por curiosidad, ¿estás tratando de construir una estructura algebraica a partir de distribuciones de probabilidad?