Diferencia entre series con deriva y series con tendencia

Una serie con deriva se puede modelar como donde es la deriva (constante) y . $y_t = c + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$$c$$\phi=1$

Una serie con tendencia se puede modelar como donde es la deriva (constante), es la tendencia de tiempo determinista y .$y_t = c + \delta t + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$$c$$\delta t$$\phi=1$

Ambas series son y creo que ambas exhiben un comportamiento creciente.$I(1)$

Si tengo una nueva serie que muestra un comportamiento creciente, ¿cómo sé que esta serie es una serie con tendencia o tendencia?

¿Puedo hacer dos pruebas de ADF ?

• Prueba ADF 1: la hipótesis nula es que la serie es con deriva$I(1)$
• Prueba 2 del ADF: la hipótesis nula es que la serie es con tendencia$I(1)$

Pero, ¿qué pasa si no se rechaza la hipótesis nula para ambas pruebas ?

Si tengo una nueva serie que exhibe un comportamiento creciente, ¿cómo sé que esta serie es una serie con deriva o tendencia?

Puede obtener alguna pista gráfica sobre si debe considerarse una intersección o una tendencia determinista. Tenga en cuenta que el término de deriva en su ecuación con genera una tendencia lineal determinista en la serie observada, mientras que una tendencia determinista se convierte en un patrón exponencial en .$\phi=1$$y_t$

Para ver a qué me refiero, podría simular y trazar algunas series con el software R como se muestra a continuación.

Simula una caminata aleatoria:

n   <- 150
eps <- rnorm(n)
x0  <- rep(0, n)
for(i in seq.int(2, n)){
  x0[i] <- x0[i-1] + eps[i]
}
plot(ts(x0))

Simule una caminata aleatoria con deriva:

drift <- 2
x1    <- rep(0, n)
for(i in seq.int(2, n)){
  x1[i] <- drift + x1[i-1] + eps[i]
}
plot(ts(x1))

Simule una caminata aleatoria con una tendencia determinista:

trend <- seq_len(n)
x2    <- rep(0, n)
for(i in seq.int(2, n)){
  x2[i] <- trend[i] + x2[i-1] + eps[i]
}
plot(ts(x2))

También puedes ver esto analíticamente. En este documento (pp.22) , se obtiene el efecto de los términos deterministas en un modelo con raíces unitarias estacionales. Está escrito en español, pero puede simplemente seguir las derivaciones de cada ecuación, si necesita alguna aclaración al respecto, puede enviarme un correo electrónico.

¿Puedo hacer dos pruebas de ADF: Prueba de ADF 1. La hipótesis nula es que la serie es I (1) con la prueba ADF de deriva 2. La hipótesis nula es que la serie es I (1) con tendencia. Pero, ¿y si para ambas pruebas, la hipótesis nula no se rechaza?

Si se rechaza el valor nulo en ambos casos, no hay evidencia que respalde la presencia de una raíz unitaria. En este caso, podría probar la importancia de los términos deterministas en un modelo autorregresivo estacionario o en un modelo sin términos autorregresivos si no hay autocorrelación.