Ejemplos de aplicación errónea del teorema de Bayes

Esta pregunta de la comunidad de desbordamiento matemático solicitó "ejemplos de malos argumentos que implican la aplicación de teoremas matemáticos en contextos no matemáticos" y produjo una lista fascinante de matemática aplicada patológicamente.

Me pregunto sobre ejemplos similares de usos patológicos de la inferencia bayesiana. ¿Alguien ha encontrado artículos académicos, publicaciones de blog excéntricas que utilizan métodos bayesianos de maneras ingenuas

Sí. Recientemente fui contratado como consultor estadístico para examinar un artículo en particular (horrible) cuyos autores lograron verse aún peor en una carta al editor utilizando el teorema de Bayes. Comenzaron con un valor predictivo positivo mal calculado de su artículo (PPV = 95% supuestamente). Básicamente ignoraron una carta crítica sobre esto de Ricci ^{₍₂₀₀₄₎} que intentó (y falló) decirles cómo deberían haberlo calculado (sugirió el 82.3%). Luego encontraron un libro de texto sobre biostatos ^{_{(Elston y Johnson, 1994)}} y lo citaron erróneamente. Compramos el libro y lo comprobamos, pero en retrospectiva, esto era tan innecesario como sospechaba. Obtenga una carga de este desastre (de la carta de respuesta de Barsness et al. Al editor):

El teorema de Bayes ¹ generalmente establece que una baja prevalencia de una enfermedad particular (NAT) fortalece el valor predictivo positivo de una prueba positiva (fractura de costilla) para definir el estado de la enfermedad (víctima de NAT) ... De acuerdo con el teorema de Bayes, ¹ la probabilidad de un evento se define mediante la siguiente ecuación: P es la probabilidad de un evento verdadero ( víctima de NAT), P (S / D ₁ ) es la probabilidad de una prueba positiva (VPP de una fractura de costilla para predecir NAT) y P (S / D ₂ ) es la probabilidad posterior de una prueba positiva (prevalencia de NAT) . Sustituyendo nuestros datos, la probabilidad de que una fractura de costilla sea un evento verdadero

$$\rm P=\frac{P(S/D_1)}{P(S/D_1)+P(S/D_2)}$$ $[p = 95/(95 + 1.6)]$es 98.3 por ciento. Usando el cálculo de PPV más bajo mencionado anteriormente de 82.3 por ciento, la probabilidad de un evento verdadero es 98.1 por ciento.

¿Ves algo extraño coherente aquí? Claro que no ...

1. Este es el teorema de Bayes cuando Elston y Johnson ^{_{(1994) lo}} aplican a un ejemplo de herencia de hemofilia:

   $$\rm P(D_1|S)=\frac{P(D_1)P(S|D_1)}{P(D_1)P(S|D_1)+P(D_2)P(S|D_2)}$$

   Las discrepancias hablan por sí mismas, pero aquí hay una cita de su discusión del ejemplo:

   El hecho de que tuviera un hijo que no se haya visto afectado disminuye la probabilidad de que ella haya heredado el gen de la hemofilia y, por lo tanto, la probabilidad de que su segundo hijo se vea afectado.

   No sé cuál fue la idea de que Barsness y sus colegas fortalecen la baja prevalencia , pero no estaban prestando atención a su propio libro de texto de elección.

2. No parecen entender que PPV es la probabilidad de un "evento verdadero" (D ₁ ) dada una fractura de costilla (S). Por lo tanto, en una demostración poéticamente completa de " basura adentro, basura afuera ", ingresan su PPV como numerador y denominador, agregan la prevalencia al denominador y obtienen un PPV más alto. Es una pena que no se dieran cuenta de que podían continuar esto circularmente hasta la náusea : Aunque 98.4 es en realidad ; es decir, cualquier PPV podría convertirse a 98.4 con prevalencia = 1.6 si su versión de la ecuación fuera correcta aplicándola iterativamente.

   $$p_1 = 95/(95 + 1.6)=98.3\rightarrow p_2 = 98.3/(98.3 + 1.6)=98.4\rightarrow\dots$$ $\lim_{k\rightarrow\infty} p_k(p_{k-1},1.6)$

3. Cuando se usa su información de prevalencia y algunas estimaciones razonables de sensibilidad y especificidad de otros estudios sobre el tema, el VPP resulta ser mucho más bajo (tal vez tan bajo como 3%). Lo curioso es que ni siquiera habría pensado en usar el teorema de Bayes si no hubieran tratado de usarlo para fortalecer su caso. Claramente no va a funcionar de esa manera dada una prevalencia del 1.6%.

^{Referencias
· Barsness, KA, Cha, ES, Bensard, DD, Calkins, CM, Partrick, DA, Karrer, FM y Strain, JD (2003). El valor predictivo positivo de las fracturas de costillas como indicador de trauma no accidental en niños. Journal of Trauma-Injury, Infection, and Critical Care, 54 (6), 1107–1110.
· Elston, RC, y Johnson, WD (1994). Fundamentos de bioestadística (2ª ed.). Filadelfia: FA Davis Company.
· Ricci, LR (2004). Cartas al editor. Journal of Trauma-Injury, Infection, and Critical Care, 56 (3), 721.}