Distribución marginal de la diagonal de una matriz distribuida inversa de Wishart

Supongamos que . Estoy interesado en la distribución marginal de los elementos diagonales . Hay algunos resultados simples sobre la distribución de submatrices de (al menos algunos listados en Wikipedia). De esto puedo deducir que la distribución marginal de cualquier elemento en la diagonal es Gamma inversa. Pero no he podido deducir la distribución conjunta. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Pensé que tal vez podría derivarse por composición, como:

pags (X_{11} El | X_{yo yo}, yo > 1) pags (X_{22} El | X_{yo yo}, yo > 2) ... pags (X_{(pags - 1) (pags - 1)} El | X_{pags pags}) pags (X_{pags pags}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

pero nunca llegué a ninguna parte y sospecho que me falta algo simple; parece que este "debería" ser conocido pero no he podido encontrarlo / mostrarlo.

distributions probability pdf JMS
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La Propuesta 7.9 de Bilodeau y Brenner (el pdf está disponible gratuitamente en la web) da un resultado prometedor para el Wishart (tal vez se traslade para el Wishart inverso). Si divide en bloques como , entonces es Wishart, al igual que , y son independientes.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

shabbychef

Esa proposición solo se aplica si conoce toda la matriz: si solo tiene la diagonal, entonces no sabe, por ejemplo, , por lo que no puede hacer la transformación.

X_{12}

$X_{12}$

petrelharp

Respuestas:

En general, uno puede descomponer cualquier matriz de covarianza en una descomposición de correlación de varianza como
Aquí es la matriz de correlación con unidades diagonales . Por lo tanto, las entradas diagonales de ahora son parte de una matriz diagonal de varianzas

Σ = diag (Σ) Q diag (Σ)^{⊤} = re Q {re}^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$ . Dado que las entradas fuera de la diagonal de la matriz de varianza son cero

, la distribución conjunta que está buscando es solo el producto de las distribuciones marginales de cada entrada diagonal.

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

Ahora considere el modelo estándar inverso de Wishart para una matriz de covarianza dimensional $d$ $\Sigma$

Σ \sim yo W (ν + re - 1, 2 ν Λ), ν > re - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

Los elementos diagonales de se distribuyen marginalmente como $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{yo yo} \sim inv- χ^{2} (ν + re - 1, \frac{λ_{yo yo}}{ν - re + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Aquí se da una buena referencia con una variedad de antecedentes para la matriz de covarianza que se descomponen en diferentes distribuciones de correlación de varianza.

usuario3303
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