Recientemente he caído en la falacia , considerando el polo s = 1 ya que hay una respuesta infinita en la frecuencia 1. Sin embargo, la respuesta fue solo 1. Ahora, ¿puedes derivar la respuesta de frecuencia, dados los polos?
En segundo lugar, la teoría dice que un sistema es estable cuando los polos están en el plano s izquierdo y, por lo tanto, decaen con el tiempo. Pero espera. ¿Un "polo" significa la respuesta infinita: el crecimiento en el tiempo?
Finalmente, ¿es la pregunta correcta en DSP? OMI, D significa digital mientras que s-domain es analógico. No encuentro etiquetas de transformación s-plane o Laplace para etiquetar mi publicación.
actualización Gracias por las respuestas. Parece que lo tengo, excepto una cosa menor pero fundamental: la relación de los polos (y ceros) con la frecuencia. Básicamente, ¿por qué son los valores propios (o, ¿cómo se llama a la operador / variable) relacionada con la frecuencia? Debería estar relacionado de alguna manera con el crecimiento exponencial y la transformación de Laplace. Entiendo perfectamente que los polos son valores propios (especialmente para las recurrencias discretas). Pero, ¿cómo se relaciona esto con la frecuencia?
Respuestas:
Creo que en realidad hay 3 preguntas en su pregunta:
P1: ¿Puedo derivar la respuesta de frecuencia dados los polos de un sistema (lineal invariante en el tiempo)?
Sí, puedes, hasta una constante. Sis∞,i , i=1,…,N, son los polos de la función de transferencia, puede escribir la función de transferencia como
Tenga en cuenta ques es una variable compleja s=σ+jω , y la variable de frecuencia ω corresponde al eje imaginario del plano s complejo . Ahora necesitamos obtener la respuesta de frecuencia de la función de transferencia. Para sistemas estables, esto se puede hacer simplemente evaluando la función de transferencia H(s) para s=jω . Entonces reemplaza s por jω en (1) y listo. Sin embargo, tenga en cuenta que esto solo es cierto para sistemas estables (es decir, si la región de convergencia de H(s) incluye elejejω ).
P2: ¿Cómo puede un sistema estable tener polos?
Como ya sabe, para sistemas causales y estables, todos los polos deben estar en el semiplano izquierdo del planos complejo . De hecho, el valor de la función de transferencia H(s) irá al infinito en un polo s=s∞ , pero la respuesta de frecuencia estará bien, porque si todos los polos están en el semiplano izquierdo, no hay polos en el jω -axis (o a la derecha de la misma). Si lo observa en el dominio del tiempo, entonces cada polo (simple) tiene una contribución de es∞t a la respuesta de impulso del sistema. Si el polo está ubicado en el semiplano izquierdo, esto significa que s∞=σ∞+jω∞ tiene una parte real negativaσ∞<0 . Entonces
es una función amortiguada exponencialmente y no crece sino que decae, porqueσ∞<0 .
P3: ¿Esta pregunta pertenece aquí?
Otros miembros de la comunidad tienen que juzgar si esta pregunta pertenece aquí. Creo que si. Obviamente, no está directamente relacionado con DSP puro, pero los ingenieros de DSP a menudo también tienen que lidiar con señales y sistemas analógicos antes de la conversión AD, por lo que también conocen la teoría de sistemas continuos. En segundo lugar, casi todas las personas DSP (al menos las que tienen capacitación tradicional) tuvieron bastante exposición a las señales generales y la teoría de sistemas, incluidos los sistemas de tiempo continuo y de tiempo discreto.
Por cierto, para sistemas de tiempo discreto obtienes la transformaciónZ lugar de la transformación de Laplace, y tu variable compleja ahora se llama z lugar de s . La variable D que ha mencionado se define como D=z−1 y se utiliza principalmente en la literatura de codificación. Por su definición, denota un elemento de retraso, por lo que D significa "retraso" (no "digital").
Si se sabe que la izquierda semiplano del complejos mapas un plano a la región dentro del círculo unidad del complejo z un plano (es decir, |z|<1 ), y el jω eje x mapas al círculo unidad |z|=1 , entonces casi todo lo que sabe sobre uno de los dos dominios se transferirá fácilmente al otro dominio.
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Una cosa que realmente me ayudó a entender los polos y ceros es visualizarlos como superficies de amplitud. Varias de estas parcelas se pueden encontrar en A Filter Primer . Algunas notas:
Un ejemplo simple es un integrador H (s) = 1 / s:
En otras palabras, tiene una ganancia infinita en DC (la respuesta escalonada de un integrador aumenta para siempre), y la ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia:
Alejar el polo del origen, a lo largo del eje imaginario hacia la mano izquierda del plano S, hace que la ganancia a 0 Hz en el eje jw sea finita nuevamente, y ahora tiene un filtro de paso bajo:
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No diré el mapeo completo de los polos (1) / ceros (0) a la respuesta de frecuencia, pero creo que puedo explicar la conexión entre la frecuencia y la respuesta cero / infinito, ¿por qué tiene una respuesta infinita / cero en es decir , lo que e - j w tiene que ver con z .e−jw=zzero/pole, e−jw z
La forma general del sistema lineal es que puede ser resuelto en z-from como Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z + b
What we want to determine the effect of the system H(z) upon harmonic signal. That is, the input is going to be test signal
Please note that1+z basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single z stands for single clock delay in time domain.
Now, as explained in,H(jw)=1+e−jw=e−jw/2(ejw/2+e−jw/2)=e−jw/22cos(w/2) . Cosine makes it to behave like low-pass filter
It is also a good lesson that you get2cosα=eiα+e−iα because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.
LTI with impulse response = {1,-1} isyn=xn−xn|xn=ejwn=ejwn(1−e−jw) has transfer function of H(jw)=(1−e−jw)=e−jw/2(ejw/2−e−jw/2)=e−jw2sin(w/2) , which has zero at w=0 since sin(0)=0 but it can be found from the frequency response
After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer functionH(z)=1±z and frequency response H(jw)=1±e−jw . That is, z somehow corresponds to e−jw , which is important for zero/pole analysis. I read it like
In general, single-zero LTI is given byyn=b0xn+b1xn−1 or
which goes to zero when1−z0e−jw=0 or e−jw=1/z0 , which matches the computation for z if z=e−jw . The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio 1/z0=e−jw by choosing appropriate frequency w , a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency w so that zero z=1/z0=e−jw.
Now, what about the poles? Let's single out a single polea . The system has a from of yn=ayn−1+(xn+xn−1+⋯) , under assumption y0=0 , has z-transform of Y(z)=X(z)/(1−az) .
The feedbacka is equivalent to infinite impulse response 1,a,a2,…↔z1+az+a2z2+⋯=1/(1−az) . It says that response is infinite when z=1/a . What does it mean if we apply the test signal
That is, zeroes or poles of the transfer functionH(z) happen to match the zeroes and poles of frequency response H(jw) , which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, ejwn/ejw(n−1)=ejw=1/zzero in case of zeroes. The fact that ejwn scales exponentially over time, along with the system with feedback a , also seems to be the key for matching between ejw and zpoles . It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of ejwn , the basis function must also have adjustable amplitude factor kn .
I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.
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