Derivando la transformada de Fourier de coseno y seno

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En esta respuesta, Jim Clay escribe:

... use el hecho de que ...F{cos(x)}=δ(w1)+δ(w+1)2

La expresión anterior no es muy diferente de .F{cos(2πf0t)}=12(δ(ff0)+δ(f+f0))

He estado tratando de obtener la expresión posterior utilizando la definición estándar de la transformada de Fourier pero todo lo que termino con es una expresión tan diferente de lo que aparentemente es la respuesta.X(f)=+x(t)ej2πftdt

Aquí está mi trabajo:

x(t)=cos(2πf0t)F{x(t)}=+cos(2πf0t)ej2πftdt=+12(ej2πf0t+ej2πf0t)ej2πftdt=12+(ej2πf0tej2πft+ej2πf0tej2πft)dt=12+(ej2πt(f0+f)+ej2πt(ff0))dt=12(+(ej2πt(f0+f))dt++(ej2πt(ff0)))dt

Aquí es donde estoy atrapado.

Pyler
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Respuestas:

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Su trabajo está bien, excepto por el problema de que la transformada de Fourier de no existe en el sentido habitual de una función de , y tenemos que extender la noción para incluir lo que se llama distribuciones, o impulsos, o deltas de Dirac, o (como solemos hacer los ingenieros, para disgusto de los matemáticos) funciones delta . Lea acerca de las condiciones que deben cumplirse para que exista la transformada de Fourier de la señal (en el sentido habitual) y verá que no tiene una transformada de Fourier en el sentido habitual.cos(2πf0t)fX(f)x(t)cos(2πf0t)

Volviendo a su pregunta específica, una vez que comprende que los impulsos se definen solo en términos de cómo se comportan como integrantes en una integral, es decir, para , siempre que sea ​​continua en , entonces es más fácil deducir la transformada de Fourier de reflexionando sobre el hecho de que y entonces debe ser que es el inverso Transformada de Fourier dea<x0<b

abδ(xx0)g(x)dx=g(x0)
g(x)x0
cos(2πf0t)=12[ej2πf0t+ej2πf0t]
δ(ff0)ej2πftdf=ej2πf0t
cos(2πf0t)12[δ(ff0)+δ(f+f0)] .
Dilip Sarwate
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Luego, use una tabla de pares de transformadas de Fourier para ver que , y la sustitución de variables ( y ), para obtener lo que necesita.δ(t)1f1=f+f0f2=ff0

Peter K.
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Lo cual, por supuesto, plantea la pregunta de cómo la persona que escribió la tabla dio con la respuesta que está en la tabla.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate :-) Ahora estás haciendo una pregunta mucho más difícil. :-)
Peter K.
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Vea mi respuesta para obtener una versión de la respuesta a la pregunta mucho más difícil que podría aprobarse en este intercambio de pila si no es en matemáticas.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate: ya tienes mi +1. Gracias, buena respuesta. Aceptó las matemáticas. Los tipos SE se horrorizarían. Está bien, somos ingenieros. :-)
Peter K.