Explicación de PSD (densidad espectral de potencia)

Estoy tratando de entender cómo se calcula el PSD. He buscado en algunos de mis libros de texto de Ingeniería de la Comunicación, pero fue en vano. También he buscado en línea. Wikipedia parece tener la mejor explicación; sin embargo, me pierdo en la parte donde deciden hacer la CDF (función de distribución acumulativa) y luego, por alguna razón, decido relacionar eso con la función de autocorrelación.

Supongo que lo que no entiendo es, ¿cómo la autocorrelación tiene algo que ver con el cálculo de la PSD? Pensé que la PSD simple sería la Transformada de Fourier de (donde es la potencia de la señal con respecto al tiempo).P ( t $P(t)$$P(t)$

Tienes razón, PSD tiene que ver con el cálculo de la Transformada de Fourier de la potencia de la señal y adivina qué ..... hace. Pero primero veamos la relación matemática entre el PSD y la función de autocorrelación.

1. Anotaciones:

   • Transformada de Fourier: $$\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$$
   • (Tiempo) Función de autocorrelación: $$R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$$

2. Probemos que la Transformada de Fourier de la función de Auto-Correlación es, de hecho, igual a la densidad de Potencia Espectral de nuestra señal de señal estocástica .$x(t)$

= ∫ ∞ - ∞ ∫ ∞ - ∞ x ( t ) x ( t + τ ) e - j ω τ d t d τ = ∫ ∞ - ∞ x ( t )

$$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$$ $$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$$

$$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$$

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Que significa todo esto? Nota: esta explicación es un poco "hacky". Pero aquí va

$\mathcal{F}[x(t)]$

¿Qué sucede si tomas el valor esperado de la transformada de Fourier entonces? Esto no funcionaria. Tomemos una señal media cero, por ejemplo.

$$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$$

En cambio, ¿qué pasa si tomas la transformada de Fourier del cuadrado de la señal?

$$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$$

La función de autocorrelación es esencialmente la $P(t)$ a lo que te referías

Referencias

[1] Comunicaciones 1, PL. Dragotti, Imperial College London

[2] Ruido blanco y estimación, F. Tobar [Informe no publicado]

Buena derivación, pero creo que puedes hacerlo aún más fácilmente.

Correlación automática $r(t) = x(t)*x(-t)$, es la convolución de la señal con su tiempo invertido.

La convolución en el dominio del tiempo es la multiplicación en el dominio de la frecuencia.

El cambio de tiempo en el dominio del tiempo es "conjugado complejo" en el dominio de la frecuencia.

De ahí obtenemos

$$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$$