Densidad espectral de potencia vs Densidad espectral de energía

Leí lo siguiente en Wikipedia :

Densidad espectral de potencia:

La definición anterior de densidad espectral de energía es más adecuada para transitorios , es decir, señales de tipo pulso, para las cuales existen las transformadas de Fourier de las señales . Para señales continuas que describen, por ejemplo, procesos físicos estacionarios, tiene más sentido definir una densidad espectral de potencia (PSD), que describe cómo se distribuye la potencia de una señal o serie temporal en las diferentes frecuencias, como en el ejemplo simple dado previamente.

No entiendo bien ese párrafo. La primera parte dice que " para algunas señales ... la transformada de Fourier no existe ".

¿Para qué señales (en el contexto que estamos discutiendo) no existe la transformación de Fourier y, por lo tanto, debemos recurrir a la PSD en lugar de utilizar la densidad espectral de energía?
Al obtener la densidad espectral de potencia, ¿por qué no podemos calcularla directamente? ¿Por qué necesitamos estimarlo ?
Finalmente, sobre este tema, he leído acerca de los métodos que usan Kayser-windows al calcular el PSD a lo largo del tiempo. ¿Cuál es el propósito de estas ventanas en la estimación de PSD?

power-spectral-density Amelio Vazquez-Reina
fuente

x (t)

$x(t)$

x (t)

$x(t)$

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

Respuestas:

El proceso aleatorio nunca termina, fenómeno no periódico, por lo que tomar la transformación de Fourier de sus realizaciones no tiene sentido, tampoco es posible. Sin embargo, si el proceso aleatorio es estacionario, entonces es seguro que tiene un poder finito sobre alguna banda de frecuencias. Ahora, aquí surge la pregunta de cómo calcular el poder de este proceso aleatorio estacionario (no se puede tomar la transformación de Fourier directamente). ¿Entonces lo que hay que hacer? encontramos la función de autocorrelación del proceso aleatorio dado, cuya transformación de Fourier siempre existe. Finalmente, tomamos la transformada de Fourier de esta función de autocorrelación para obtener la densidad espectral de potencia del proceso estacionario dado.

Si integra la densidad espectral de potencia de un proceso estacionario dado en el intervalo de - a obtendrá la potencia total contenida en el proceso aleatorio dado. $\infty$ $\infty$

kaka
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Cuando dijiste:

"However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."

¿por qué es eso? ¿Y tiene que ser necesariamente estacionario para tener poder finito sobre alguna banda de frecuencias?

Amelio Vazquez-Reina

Los procesos estacionarios tienen siempre una media finita y una varianza finita. Significa que el proceso estacionario siempre tiene un poder finito. Dado que la potencia es finita, esto significa que la densidad espectral de potencia del proceso estacionario es finita en alguna banda de frecuencias. (la banda de frecuencia puede ser infinita).

kaka

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.

Esto es incorrecto. Vea el segundo párrafo de esta respuesta para un contraejemplo.

Dilip Sarwate