Lo siento, esta es una pregunta muy básica. Pero me cuesta entender cómo es posible.
Sé que la respuesta de impulso es la salida del sistema cuando la secuencia de impulso se da como entrada con las condiciones iniciales establecidas en 0.
Escalar es aumentar la amplitud de la señal, es decir, si multiplico la entrada por 2, la salida también se multiplicará por 2.
La señal de cambio de tiempo es si retraso la entrada, entonces la salida también se retrasa por el mismo factor.
Ahora, ¿alguien puede ilustrar esto con un ejemplo de cómo cualquier secuencia puede descomponerse en la suma de copias de la respuesta al impulso, señales escaladas y desplazadas en el tiempo?
Muchas gracias por adelantado.
discrete-signals
sarbjit
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Respuestas:
Una interpretación de su pregunta podría ser la siguiente:
La respuesta es que un sistema con las propiedades 1 y 2 no necesariamente tiene la propiedad de aditividad o superposición. Si la propiedad de superposición también es válida, el sistema se llama sistema lineal invariante en el tiempo. Pero esta es una suposición adicional que debe hacer (o probar).
Comúnmente, la homogeneidad y la aditividad se combinan en la propiedad de linealidad que dice que la respuesta a input (es decir, una combinación lineal de entradas y ) es (es decir, la misma combinación lineal de salidas e ).α⋅x1(t)+β⋅x2(t) x1(t) x2(t) α⋅y1(t)+β⋅y2(t) y1(t) y2(t)
Un par de puntos que deben guardarse en el fondo de su mente:
Un sistema puede ser lineal sin ser invariante en el tiempo (por ejemplo, un modulador , o invariante en el tiempo sin ser lineal (por ejemplo, un circuito de ley cuadradax(t)→x(t)cos(ωt) x(t)→[x(t)]2
Un sistema aditivo que produce la salida en respuesta a la entrada y, por lo tanto, parece tener la propiedad de escalado. tener la propiedad de escala. Convéncete de que esto es cierto intentando demostrar que la respuesta a es . En resumen, la escala y la aditividad son dos propiedades diferentes y un sistema que disfruta de una de ellas no necesariamente disfruta de la otra.y(t)+y(t)=2y(t) x(t)+x(t)=2x(t) 0.5x(t) 0.5y(t)
Una segunda interpretación de su pregunta podría ser la siguiente:
Esto es realmente una preocupación legítima, pero en realidad la fórmula de convolución tiene mucho éxito en ocultar el resultado de que la salida es la suma de versiones escaladas y con retraso de tiempo de la respuesta al impulso. Lo que está sucediendo es lo siguiente.
Desglosamos la señal de entrada en una suma de señales de pulso de unidad escalada. La respuesta del sistema a la señal de pulso de la unidad es la respuesta de impulso o la respuesta de pulso y así, mediante la propiedad de escala, el valor de entrada único o, si prefiere crea una respuestax ⋯, 0, 0, 1, 0, 0,⋯
Del mismo modo, el valor de entrada único o crea crea una respuesta Observe el retraso en la respuesta a . Podemos continuar más en este sentido, pero es mejor cambiar a una forma más tabular y mostrar las distintas salidas alineadas correctamente en el tiempo. Tenemosx[1]
entonces se puede obtener la respuesta sumando los columna -ésima para obtener la querida fórmula de convolución que confunde a generaciones de estudiantes porque la respuesta al impulso parece estar retrocediendo en el tiempo.n
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additivity
yscaling
?Si consideramos una señal discreta, digamos
x [n] = {1,5,3}, que tiene tres impulsos en n = 0, 1 y 2 con amplitud 1, 5 y 3.
ahora podemos escribir
x [n] = 1 * + 5 * + 5 *δ[n] δ[n−1] δ[n−2]
o lo generalizamos,
x [n] =∑∞−∞x[k]δ(n−k)
Para el sistema invariante de tiempo lineal sabemos que,
para una entrada dada, x [n] = , una respuesta del sistema como h [n], salida =x[m]δ[n−m] ym[n] x[m]h[n−m]
Por lo tanto, usando la propiedad conmutativa,
y [n] = =∑∞−∞yk[n] ∑∞−∞x[k]h[n−k]
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