En este artículo o filtrado multirrata, el autor establece la siguiente relación matemática. Deje ser la salida de un muestreador de modo tal que$y_D$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

donde es el factor de disminución de resolución. En otras palabras, conservamos cada -ésima muestra de la señal original. El autor continúa diciendo lo siguiente:$M$$M$

... la transformación z de viene dada por$y_D[n]$

$$Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$$

donde es el núcleo de la Transformada de Fourier discreta de punto , es decir, . M e ( - j 2 π k ) /$W^k$$M$$e^{(-j2\pi k)/M}$

¿Cómo podemos pasar de la primera expresión a la segunda? ¿Cuál es la relación entre DFT y la transformación Z que permite tal transición?

Esta derivación es complicada. El enfoque sugerido anteriormente tiene un defecto. Déjame demostrarte esto primero; entonces daré la solución correcta.

Queremos relacionar la de la señal , , con la de la señal original .Y D ( z ) = Z { x [ M n ] } Z X ( z ) = Z { x [ n ] $\mathcal{Z}$$Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$$\mathcal{Z}$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

La forma incorrecta

Se podría pensar en simplemente conectar la expresión para la señal muestreada a la expresión de la transformación :$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Un cambio de la variable parece obvio:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Sin embargo, es importante darse cuenta de que aunque el nuevo índice de suma todavía se ejecuta desde a , la suma ahora supera 1 de M números enteros . En otras palabras, - ∞ $n'$$-\infty$$\infty$

$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$ ,

mientras que la definición de la requiere$\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ .

Como esto ya no es una , no podemos escribir:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

La direccion correcta

Primero definamos una señal de tren de impulso 'auxiliar' como:$t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Esta función es en una de cada muestras, y cero en cualquier otro lugar.$1$$M$

De manera equivalente, la función del tren de pulsos se puede escribir como:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

Prueba: debemos considerar por separado los casos y : n ∉ M $n \in M\mathbb{Z}$$n \notin M\mathbb{Z}$

n∉M

$$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$$ En el caso ,$n \notin M\mathbb{Z}$

Ahora volvamos a nuestro problema original de encontrar la de un muestreador inferior:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Aplicamos la sustitución , teniendo en cuenta que esto hace que la suma se ejecute solo sobre múltiplos enteros de M:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Ahora podemos usar la función de tren de impulsos anterior para reescribir esto de manera segura como una suma de todos :$n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

Usando la formulación anterior para la función de tren de impulsos como una suma finita de exponenciales, obtenemos:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

La suma de la derecha es una suma de todos los enteros y, por lo tanto, es una válida de en términos de . Por lo tanto, podemos escribir:$\mathcal{Z}$$z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

Esta es la fórmula para la de un reductor de muestras.$\mathcal{Z}$

No he visto esta notación antes. Sin embargo, parece tener sentido. El -downsampler se define por la ecuación:$M$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

Su transformación está definida por la ecuación:$z$

$$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$$

Aplicar un cambio de variable, dejando . Los rangos de la suma no se ven afectados por el cambio de variable, ya que se extienden hasta el infinito.$n' = Mn$

$$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$$

Esto se parece a la transformación de sí. Recuerde que se define como:$z$$x[n]$

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$$

Por inspección, podemos concluir la siguiente relación entre las transformaciones de y :$z$$x[n]$$y_D[n]$

$$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$$

Por lo tanto, la transformación de la salida del muestreador inferior está estrechamente relacionada con la transformación de la señal de entrada, que es de esperar. En el dominio de la frecuencia, esto da como resultado un estiramiento pliegue del contenido de frecuencia de la señal.$z$$z$$M$

Pero, ¿cómo se pasa de la ecuación anterior a la referenciada en el documento? Da una definición de en términos de solamente, mientras que la expresión que derivamos es una función de . Entonces, para un valor particular de que le gustaría evaluar , primero debe calcular (es decir, tomar la raíz -ésima de ) y luego sustituirla por . Sin embargo, todos los distintos de cero tienen raíces -th distintas :$Y_D(z)$$z$$z^{1/M}$$z$$Y_D(z)$$z^{1/M}$$M$$z$$X(z)$$z \in \mathbb{C}$$M$$M$

$$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$$

$$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$$

donde es el valor del núcleo DFT referencia en su pregunta, y es lo que defino como la raíz -ésima principal del valor complejo :$W_k$$e^{j2\pi k / M}$$r_p$$M$$z$

$$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$$

Esto es, 's principal de -ésima raíz se obtiene mediante la conversión de a la forma polar, teniendo el raíz-ésimo de ' s magnitud (que es un número real), y dividiendo 's ángulo por . Los valores resultantes expresan en forma polar.$z$$M$$r_p$$z$$M$$z$$z$$M$$r_p$

¿Por qué ir a todos estos problemas? Porque, como señalé antes, la asignación del de al dominio de no es uno a uno. Ahora comenzaré a agitar las manos. Para cualquier valor particular de que le gustaría evaluar , hay puntos correspondientes en que podría asignar. Por lo tanto, cada uno de esos puntos en contribuye al valor correspondiente de . Luego terminas con una suma como la que se muestra en el documento:$Y_D(z)$$X(z^{1/M})$$z$$Y_D(z)$$M$$X(z^{1/M})$$M$$X(z^{1/M})$$Y_D(z)$

$$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$$

donde refiere al cálculo de la raíz -ésima principal que mostré anteriormente. En realidad, podría elegir cualquiera de las raíces de como la principal; Elegí esta definición porque es la más sencilla. Si tuviera que derivar esta relación de manera adecuada y rigurosa, creo que el factor entra en juego debido a una derivada de .$r_p(z)$$M$$z$$M$$\frac{1}{M}$$z^{1/M}$

En el lenguaje matemático, creo que esto se denominaría una composición de funciones; , donde y . Para desenrollar la composición de la función y escribir como una función de , debe cortar el dominio de en fragmentos que son uno a uno, invertir la función en esos intervalos y luego sumar Los resultados con factores de escala apropiados. He usado esta técnica antes para calcular la función de distribución de probabilidad de una función de una variable aleatoria dado el pdf original de la variable aleatoria (por ejemplo, para derivar el pdf de dadof ( z ) = X ( z ) g ( z ) = z 1 / M Y D ( z ) z Y D ( z ) $Y_D(z) = f(g(z))$$f(z) = X(z)$$g(z) = z^{1/M}$$Y_D(z)$$z$$Y_D(z)$$\sqrt{X}$$X$'s pdf), pero el nombre de la técnica se me escapa.