Cómo construir un cambiador de fase con desplazamiento de fase arbitrario

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Fred, un ingeniero DSP, va a su tienda DSP favorita para hacer algunas compras.

Fred: Hola, me gustaría comprar un cambiador de fase.

Ayudante de tienda: Hmm, ¿qué quieres decir exactamente?

Fred: Bueno, ya sabes, si pones una sinusoide como obtienes en la salida, para cualquier . Y, por supuesto, debe ser ajustable.y ( t ) = sin ( ω 0 t - θ ) ω 0 θx(t)=sin(ω0t)y(t)=sin(ω0tθ)ω0θ

Asistente de tienda: Oh, ya veo. Lo siento, no, no tenemos esos. Pero recuerdo que otros muchachos necesitaban lo mismo, y siempre compran un transformador Hilbert, un par de multiplicadores y un sumador, y de alguna manera conectan todas estas cosas para hacer un cambiador de fase ajustable.

Fred: Oh si, cierto!

Fred finge entender de qué está hablando el tipo. Por supuesto que no tiene idea de cómo hacerlo. Compra todo lo que el tipo dijo que necesitaba y piensa por sí mismo que podría resolverlo en casa o, si todo lo demás falla, podría preguntarlo en DSP.SE.

¿Cómo puede Fred construir un cambiador de fase con desplazamiento de fase ajustable usando los componentes que obtuvo en la tienda?θ

Matt L.
fuente
¡Muy buena! Aclare si la fase debe ser la misma para todas las frecuencias (sobre una banda dada) o si un retraso arbitrario constante sería suficiente (dada cualquier frecuencia, puede establecer la fase, pero la fase cambiará linealmente con la frecuencia). ¡Creo que sé la respuesta para cualquiera de los casos, pero esperaré un par de días para ver qué más surge!
Dan Boschen
Esta tienda de la que estás hablando ... está al lado del Hotel Hilbert, ¿verdad?
M529
Los únicos transformadores decentes de Hilbert almacenados por las tiendas de aquí parecen tener estos enormes retrasos de entrada a salida. Vi algunos más rápidos en un catálogo de máquinas del tiempo, pero las reseñas de Yelp para ese proveedor parecen tener 0 estrellas.
hotpaw2
@DanBoschen: desplazará cualquier entrada sinusoidal , independientemente de su frecuencia. Por lo tanto, el retraso de fase es diferente para cada frecuencia. θ
Matt L.
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@ hotpaw2: ¡Simplemente ignora esas estrellas y obtén una rápidamente antes de que se agoten!
Matt L.

Respuestas:

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¡Buena pregunta! Utiliza una de mis identidades trigonométricas favoritas (que también se puede usar para mostrar que la modulación en cuadratura es en realidad amplitud y modulación de fase simultáneas).

La transformación de Hilbert de es . Además, (limitado a ), con . Esto sugiere un posible enfoque. Digamos que Fred necesita radianes. Calcula . Luego, necesita encontrar y modo que y , con y , que es un problema de álgebra simple. Establezca , ,- cos ( 2 π f 0 t ) sin ( 2 π f 0 t + θ ) = a sin ( 2 π f 0 t ) + b cos ( 2 π f 0 t ) a 2 + b 2 = 1 θ = atan2 ( b ,sin(2πf0t)cos(2πf0t)

sin(2πf0t+θ)=asin(2πf0t)+bcos(2πf0t)
a2+b2=1θ=atan2(b,a)θ=2.1tan(2.1)1.71aba2+b2=1b/a=1.71a<0b>0a0=1b0=1.71n=a02+b02 , , y . Entonces, Fred puede generar fácilmente una sinusoidal con la fase deseada mediante el uso de un transformador de Hilbert, dos multiplicadores, dos fuentes de CC (un juego para voltios y el otro a voltios, para cuidar de la señal del coseno), y Una víbora.a=a0/nb=b0/nab

La respuesta al impulso del sistema descrito anteriormente está dada por:

aδ(t)+bπt

Diagrama de bloques:

ingrese la descripción de la imagen aquí

MBaz
fuente
Me gusta esto, aunque (o tal vez porque) es una derivación bastante diferente de la que tenía en mente. También tenga en cuenta que tal vez sea un poco más fácil derivar las constantes y como y , respectivamente. Esperaré un poco para ver si hay otras respuestas entrantes.abcosθsinθ
Matt L.
Para aclarar, ¿podría agregar la respuesta al impulso y / o la respuesta de frecuencia del sistema total?
Matt L.
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Muy bien MBaz, esto está en la línea de lo que estaba pensando, esencialmente un "modulador de vectores" que es un componente comprado para este propósito (como una aplicación). Sin embargo, el transformador HIlbert no se puede comprar como un componente real sin restringirlo a una banda limitada (o supongo que el usuario puede obtener un transformador diferente para cada banda de interés). Ahora estoy muy interesado en ver la solución de Matt si es diferente, ya que esto fue todo lo que se me ocurrió.
Dan Boschen
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@MattL. He agregado la respuesta impulsiva. Dibujaré un diagrama y lo publicaré también. Buen punto sobre el cálculo de y . ab
MBaz
@DanBoschen Sí, asumí que el transformador Hilbert es ideal, lo que creo que está bien para este rompecabezas. También estoy interesado en ver la solución alternativa de Matt.
MBaz
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La respuesta de MBaz es correcta. Solo me gustaría agregar otra forma de pensar al respecto, por supuesto, conduciendo al mismo resultado:

Un desplazador de fase ideal con desplazamiento de fase tiene una respuesta de frecuencia que puede reescribirse como El ojo entrenado identificará como la respuesta de frecuencia de un transformador de Hilbert ideal. La respuesta de impulso correspondiente es . En consecuencia, la respuesta al impulso del desplazador de fase ideal es que se puede implementar como conexión paralela ponderada de un transformador Hilbert y un trozo de cable con pesasθ

H(ω)={ejθ,ω>0ejθ,ω<0
H(ω)=ejθsign(ω)=cos(θ)jsign(ω)sin(θ)
G(ω)=jsign(ω) h(t)=cos(θ)δ(t)+sin(θ)1g(t)=1πt sin(θ)cos(θ)
h(t)=cos(θ)δ(t)+sin(θ)1πt
sin(θ) y , respectivamente.cos(θ)

Tenga en cuenta que este sistema se puede aproximar bastante bien en una implementación práctica (tiempo discreto). Simplemente tome un transformador Hilbert de fase lineal FIR bien diseñado de longitud , y agregue un retraso de muestras a la otra ruta de señal.N2N+1N

Matt L.
fuente
Buena explicación: la contraparte en el dominio de la frecuencia de mi solución en el dominio del tiempo.
MBaz
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@MBaz: ¡Gracias! Y los factores de escala y aparecen automáticamente. cos ( θ )sin(θ)cos(θ)
Matt L.