Abs (polos) <1 ¿por qué margen para un filtro estable?

Revisé la literatura en busca de algoritmos recientes utilizados para diseñar un filtro digital que sea una aproximación mínima de una respuesta de frecuencia deseada. Todos los artículos que encontré resuelven ejemplos en los que todos los polos tienen una magnitud menor que 0.92, o menor que 0.89, etc. No he visto un ejemplo publicado con un poste que tenga una magnitud 0.95 y ciertamente no 0.9995. Si se implementa un filtro con aritmética de máquina de doble precisión, ¿qué tan cerca del círculo unitario puede llegar un poste para obtener un filtro útil? ¿Sería una mala idea tener un poste con magnitud 0.95?

Lo más probable es que dependa del orden del filtro, pero que tenga un poste en la posición $z_p$ dónde $|z_p| = 0.95$ No debería plantear un problema de estabilidad si está utilizando aritmética de coma flotante de doble precisión con un filtro de longitud razonable.

Como no sé nada acerca de su aplicación específica, otro efecto de la magnitud del polo que podría ser relevante es la respuesta al impulso del filtro resultante. Recuerde que los polos en la función de transferencia de un sistema corresponden a términos exponenciales en descomposición en la respuesta al impulso del sistema. Como señala Wikipedia:

$$a^nu[n] \Leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}}$$

dónde $u[n]$es la función discreta de paso unitario , utilizada aquí para expresar que la respuesta al impulso es causal ($0\ \forall\ n < 0$) Por lo tanto, si su filtro tiene un polo en$z = a$, entonces habrá un correspondiente $a^n$ término en la respuesta al impulso del filtro.

• Para pequeños $|a|$, este término decaerá en un número relativamente pequeño de muestras. Como$|a| \rightarrow 1$, la cantidad de tiempo (medida en muestras) requerida para que la función exponencial decaiga aumenta.

• Cuando alcanzas el punto "críticamente estable" de $|a| = 1$, el exponencial nunca decae y la respuesta al impulso del sistema no decae a cero.

• Si $|a| > 1$(es decir, el polo se encuentra fuera del círculo unitario), entonces la función exponencial diverge y la respuesta al impulso explota hasta el infinito; Es por esto que un sistema de tiempo discreto no es estable BIBO si contiene polos fuera del círculo unitario.

Teniendo en cuenta lo anterior, la otra preocupación que puede tener es la duración del tiempo efectivo total de la respuesta al impulso del filtro. Aunque, como su nombre lo sugiere, un filtro IIR teóricamente tiene una respuesta de impulso de longitud infinita, en la práctica la respuesta generalmente decaerá a un nivel insignificante después de un período de tiempo finito. Si su aplicación es sensible a esta característica, entonces tiene sentido elegir ubicaciones de polos que estén más alejadas del círculo unitario. Habrá compensaciones correspondientes en las características del dominio de frecuencia, ya que colocar polos cerca del círculo unitario puede ayudar a hacer que las regiones de transición sean más nítidas y estrechas, como a menudo es deseable.