¿Cuál es el significado de un complejo cero / polo?

He estado estudiando el procesamiento y el control de señales durante un tiempo, y uso transformadas de Laplace y Fourier casi todos los días. También otras herramientas como las parcelas Nyquist o Bode.

Sin embargo, nunca había pensado en esto hasta hoy: ¿cuál es el significado físico de un número complejo cuando se trata de frecuencias?

Esto puede sonar tonto, pero me hicieron esta pregunta y no sabía qué responder. ¿Por qué hablamos de y no solo en, por ejemplo, transformadas de Fourier y tramas de Bode o Nyquist? ¿Cuál es el sentido físico de la parte real e imaginaria de un cero o un polo en el dominio de Laplace?$j\omega$$\omega$

Usualmente hablamos de cuando también estamos interesados ​​en la transformación de Laplace de una señal / sistema, pero solo queremos hablar sobre la respuesta de frecuencia.$j\omega$

El significado físico de la parte imaginaria es que se refiere a señales puramente sinusoidales y son "amplitudes" constantes. La parte real se refiere a señales para las cuales la "amplitud" decae o crece exponencialmente.

Creo que comencé a entender la relación entre ceros / polos y la respuesta de frecuencia . La idea es que ajuste la frecuencia de sus funciones dominio de frecuencia y la velocidad de su decaimiento para que coincida con . Quiero decir que ese cero / polo puede ser un número complejo con amplitud fuera del círculo único y ajustando la frecuencia con la que mueves tu vector número complejo a lo largo del círculo único en el plano complejo, pero no hay una frecuencia que pueda hacerlo igual a o , por ejemplo. Entonces, sus funciones básicas deben verse como$w$$e^{jwn}$$z_{zero/pole}$$e^{-jw}$$z=2$$z=j/3$$e^{(k-jw)n}$para alcanzar cualquier polo / cero en el plano complejo. Es interesante porque escuché que la base de Fourier puede representar cualquier señal pero parece insuficiente y necesitamos la base de Laplace en el diseño del filtro.$e^{-jw}$$e^{(k-jw)n}$

Ahora, puramente real significa que el "exponente complejo" que coincide no tiene ningún componente imaginario. Debe decaer sin oscilaciones, como , para responder al cero / polo. Tome la pole en , por ejemplo. Tiene un sistema para queEl polo corresponde a la frecuencia . De hecho, con , tenemos que crece sin límites. Hacerlo oscilante, es decir, establecer , interrumpirá el crecimiento ya que primero se acumulará, cuando$z$$e^{kn}$$z=1$$y_n - y_{n-1} = x_n + x_{n-1} + \ldots$$Y(z) = X(z)/(1-z).$$z = e^{-jw} =1$$w=0$$x_n=1$$y_n = y_{n-1} + 1$$w \neq 1$$x_n=2cos(wn) = e^{jwn} +e^{-jwn}> 0$y luego reduzca la acumulación a cero, durante la segunda mitad del período sinusoidal. Esto sugiere que los polos imaginarios le darán respuestas infinitas para funciones oscilantes (componentes de su señal de entrada).

Cuando tiene un sistema , puede obtener fácilmente la función de polo aplicando un impulso delta en la entrada. La respuesta observada es el polo. Quiero decir que la respuesta es un exponente en descomposición . Cada reloj es veces el valor anterior. Tenga en cuenta que (el polo también conocido como coeficiente de retroalimentación y, por lo tanto, la función de respuesta) es complejo en general, lo que significa que su respuesta oscilará. Cuando multiplica un número complejo por otro, su número se escala en longitud y cambia de fase. La parte compleja es responsable del cambio de fase (las oscilaciones).$y_n=ay_{n-1}$$y_n = e^{k-jw}n=a^n$$a = e^{k-jw}=e^ke^{-jw}$

Recuerdo por la teoría del sistema que las oscilaciones realmente representan el sistema de segundo orden. Probablemente, esto responderá a la pregunta de la celda de conmutación de minas . La idea es que cuando tiene el primer nivel controla el incremento del otro y el otro controla el incremento del primero, como el inductor eléctrico y el condensador en el oscilador armónico,

$$\begin{cases} \dot{u} & = &i\\ \dot{i} & = &-u\\ \end{cases}$$

es un sistema de segundo orden porque puede expandirse a , la famosa ecuación del osciallador de resorte: la posición controla negativamente la aceleración. Entonces, dos variables de estado puramente reales (también conocidas como acumuladores) oscilan. Veo que el plano complejo también consta de dos ejes, las mismas dos variables. Cuando toda la energía se concentra en el primer acumulador, tienes el estado 1 + 0j, cuando a mitad de camino, tienes el opuesto, estado = 0 + 1j, luego el segundo acumulador empuja la energía hacia atrás, estado3 = -1 + 0j, que es ponderado al primero en el estado 4 = 0-j y el proceso se repite. Estos son 4 cuartos de viaje a lo largo de un círculo unitario en el plano complejo e imitan las oscilaciones armónicas. Entonces, probablemente, podrá dividir en$\ddot{u} = \dot{i} = -u$$1/(1-(a+jb)z)$$1/(1-r_0z)\cdot 1/(1-r_1z)$ con y reales .$r_0$$r_1$

Espera, no puedes hacer que descomponga simple en y recuerdo que los polos complejos siempre vienen en pares conjugados. Es decir, si tiene polo (a + jb), también tiene (a-jb). Según tengo entendido, esto ayuda a que la salida sea puramente real, dada la entrada real, ya que la retroalimentación (a + jb) significa que el sistema evoluciona como , la fase gira en una dirección mientras que gira la fase en la otra dirección y su suma es es puramente real. El sistema anterior tiene la solución . Probablemente ya entiendes esto. Acabo de ampliar tu pregunta.$z$$z^2$$(a+jb)^n = e^{(k+jw)n}$

$$(a-jb)^n = e^{(k-jw)n}$$ $e^{kn}(e^{jw}+e^{-jw})^n$$x_{n+1}=-x_{n-1}$$X(z)=(x_0+zx_1)/(1+z^2)=(x_0+zx_1)/[(1+jz)(1-jz)]$

La función de transferencia representa la secuencia . Debe haber una "variable oculta" (sí, es interesante si la complejidad de los polos es idéntica a la necesidad de números imaginarios que necesitamos en QM. La posición y el momento son conjugados complejos, una especie de 90 ° rotados entre sí y conociendo uno, puede calcular la otra) variable oculta para tener en cuenta si nos estamos moviendo a 1 o -1 después del estado 0. El conjugado complejo es un tipo de acumulador ortogonal complementario pero variable real, como la corriente del inductor para el voltaje del condensador, que realiza un seguimiento de eso. Me uno a la pregunta para que cualquiera aclare por qué necesitamos dos de estos complementos para tener una oscilación de voltaje puramente real y qué significa oscilación compleja simple.$1/(1+z^2)$$\{1,0,-1,0,1,0,\ldots\}$

Lo veo de esta manera (para el oscilador LC anterior)

$$\begin{bmatrix}\text{state} &\text{description}& \text{capacitor [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0&\text{all energy is in the capacitor} & 1 + 0j & 0 + j \\ 1&\text{all energy is in the inductor} & 0 + j & 1 + 0 \\ 2&\text{all energy is negaitvely charged cap} & -1 + 0 & 0 + -j \\ 3&\text{all energy is negative current} & 0 + -j & -1 + 0 \\ \end{bmatrix}$$

Es decir, lo que ve el voltaje imaginario es una corriente real en un marco de referencia paralelo, es decir, desde el punto de vista del inductor. Porque, como te dije, el estado LTI evoluciona multiplicando el estado actual con un valor propio, deberíamos oscilar entre 1 y -1 sobre el círculo unitario, lo que implica j estados intermedios. Pero, lo que ves como energía conservada en el espacio imaginario, resulta ser solo otro acumulador. El acumulador conjugado es solo otro acumulador. Por alguna razón resulta ser de tipo conjugado, como intenté explicar en la celda de conmutación .

Parece que me vuelvo a desviar. Dado que la oscilación armónica es una superposición de dos evoluciones, formada por dos polos complejos y , deberíamos tener dos columnas por cada variable conjugada. Aquí está la parte que falta$j$$-j$

$$\begin{bmatrix}\text{state} & \text{capacitor -j [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0& 1 & 0 j \\ 1& 0 - j & -1 \\ 2& -1 + 0 & -j \\ 3& 0 + j & +1 \\ \end{bmatrix}$$

El voltaje en el condensador es un valor real, que es un promedio de dos columnas de condensadores, . El proceso a rotaciones opuestas cancela los componentes imaginarios. De hecho, la corriente fluye en una dirección pero admite cualquier dirección y la abstrae, excepto el promedio. Entonces, el polo solo representa un proceso concreto, el flujo de corriente en una dirección u otra. Y, si pregunta cuál es el polo complejo, la respuesta es que es el factor por el cual el vector [corriente, voltaje] se escala cada reloj si estamos en el dominio discreto (o [di / dt, dv / dt] si están en el dominio continuo) donde el factor real representa su amplitud, parte real del factor complejo$(j^n + (-j)^n)/2 = \cos (n\pi/2)$$\ddot(x)=-x$$cos w$$e^{jw}$significa evolución de voltaje y parte imaginaria significa evolución actual. La corriente es imaginaria porque se mira desde el punto de vista del voltaje, . En contraste, el voltaje sería imaginario y actual real desde el marco de referencia actual, . Con suerte, esto es correcto y cualquiera puede explicarlo mejor.$sin w$$\ddot{v}=-v$$\ddot{i}=-i$

Las transformadas de Laplace se pueden usar para predecir el comportamiento de un circuito. La transformación de Laplace toma una función de dominio de tiempo y la transforma en la función en el dominio . Puede ver las transformaciones de Laplace como proporciones de polinomios en el dominio . Si encuentra las raíces reales y complejas (polos) de estos polinomios, puede tener una idea general de cómo se verá la forma de onda .$f(t)$$F(s)$$s$$F(s)$$s$$f(t)$

Por ejemplo, como se muestra en esta tabla, si las raíces son reales, entonces la forma de onda es exponencial. Si son imaginarios, entonces es una combinación de senos y cosenos. Y si son complejos, entonces es una sinusoide de amortiguación.

Todo eso proviene de la fórmula de Euler y la definición de la serie de Fourier, que es una forma de representar una función (en forma de onda) como la suma de ondas sinusoidales simples.

Una respuesta es muy simple: información.

Una señal de CA simplemente no se puede cuantificar con un solo número. Suma dos señales de 100 Hz a 1 V y podrías obtener algo entre 0 y 2 según la fase. Los números complejos resuelven este problema 'llevando' dos piezas de información todo el tiempo.

Los polos y ceros son similares: su frecuencia no te dice todo. Dos filtros RC crean dos polos. Un filtro LC crea dos polos. Pero no son iguales. Los números complejos pueden transportar la información que describe la diferencia.

Punto teórico de ti. Intenta tomar una raíz cuadrada de frecuencias negativas y te llevará a un lugar extraño.

Hace unos 300 años era necesario introducir una variable llamada$j$

Sin embargo, la transformación de Laplace transforma la señal del dominio del tiempo en -dominio donde$s$

$$s=\sigma+j\omega$$

donde como transformada de Fourier, al dominio de frecuencia$j\omega$