Sensación de relleno cero en un dominio de tiempo

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Tengo la tarea relacionada con la transformación de radón que contiene una subtarea que utiliza remuestreo mediante DFT.

Consideremos la señal discretizada no periódica (Fig. 1) (por ejemplo, la cadena de píxeles) que tiene 515 píxeles de longitud. En mi implementación para remuestreo contiene los siguientes pasos:

  1. Desplazamiento cíclico a la izquierda (Fig. 2).
  2. Agregar ceros al centro para que la longitud de la señal se convierta en 2 ^ n (en nuestro caso 1024-515 = 509 ceros debemos agregar) (Fig. 3).
  3. Obtenga DFT de esta señal (Fig. 4).
  4. Desplazamiento cíclico a la derecha. (para cambiar las bajas frecuencias al centro) (Fig.5)

Figura 1 Imagen original

Figura 2 Desplazamiento cíclico a la izquierda

Fig. 3 Zeropadded

Fig.4 Espectro DFT

Fig.5 DFT desplazado hacia atrás

La pregunta principal:

¿Por qué debemos realizar un desplazamiento cíclico de la señal y agregar ceros exactamente en el centro? (Supuse que esto hacía que la señal fuera periódica) Zeropadding hace interpolación del espectro DFT, ¿es correcto? (Pregunté y alguien dijo que no era así) Tal vez alguien pueda explicar de una manera simple lo que sucede con la señal después de poner a cero.

He realizado algunos experimentos en un Matlab y descubrí que cualquier otra secuencia de acciones no puede dar el resultado requerido.

Ahora consideremos dos casos:

a) (ESTA VARIANTE CORRECTA) Tenemos la señal discretizada no periódica (por ejemplo, la cadena de píxeles) que se desplazará cíclicamente a la izquierda y se rellenarán ceros en el centro después de eso se obtendrá DFT de esto y para volver a desplazarla. ingrese la descripción de la imagen aquí

b) Tenemos la señal discretizada no periódica (por ejemplo, las cadenas de píxeles establecidas) que se rellenarán con ceros de izquierda a derecha después de eso se obtendrá DFT a partir de esto.

ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Cuál es la diferencia de estos espectros DFT?

He leído algunos libros pero no he encontrado la respuesta del caso de este zeropadding. Parece que esto solo se puede encontrar por experiencia propia.

Respuesta en el libro:

AC Kak y Malcolm Slaney, Principios de Imagen Tomográfica Computarizada, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 2001 en la página 25

Roman Shkarin
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Es difícil para mí decir exactamente lo que estás tratando de hacer. ¿Desea interpolar la señal del dominio del tiempo (es decir, DFT, cero pad en el dominio de frecuencia, luego IDFT) o interpolar en el dominio de la frecuencia (cero pad en el dominio del tiempo, luego DFT)?
Jason R
@JasonR, quiero realizar la interpolación del dominio de frecuencia a través de relleno cero en un dominio de tiempo. Pero no puedo entender por qué para una interpolación adecuada debo realizar un desplazamiento circular en N / 2 y luego hacer que los ceros de relleno sean el centro.
Roman Shkarin
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Si no realiza el desplazamiento hacia la izquierda, todos los resultados de la fase cambiarán después del relleno cero (en cualquier cantidad que no sea igual al ancho de la ventana original). De este modo obtendrá resultados diferentes, no solo resultados interpolados. Un espectro retorcido no es lo mismo que un espectro no retorcido.
hotpaw2

Respuestas:

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Desplazar los puntos de datos (fftshift) y poner a cero el centro exacto de la apertura FFT tiene la propiedad de que todos los componentes pares (simétricos) con referencia al centro del conjunto de datos original terminan en la parte real del resultado complejo de FFT , y todos los componentes impares terminan en la parte imaginaria. por ejemplo, se conserva la relación de paridad a impar, lo que permite que la fase (con referencia al centro de la ventana) se interpole fácilmente.

Ser capaz de interpolar la fase es importante en el caso de una FFT de relleno cero porque el relleno de cero también interpola la magnitud espectral. Dado que el relleno de cero da como resultado un resultado de FFT interpolado, eso significa que cualquier punto de resultado de FFT original no interpolado deberá ser interpolado del resultado de relleno de cero. Sin un cambio de FFT de los datos sin relleno y sin relleno, estos resultados interpolados serán diferentes de los resultados de FFT no interpolados (en fase).

Esta técnica es un resultado simple (tarea o nivel de prueba) de la propiedad FT de que un cambio en un dominio es una modulación de frecuencia compleja en el otro dominio.

hotpaw2
fuente
Como entendí si agrego ceros al final de la señal, entonces la fase en el dominio de frecuencia no será simétrica en el centro, ¿verdad? ¿Podría explicar el sentido físico de "la relación entre la paridad y la rareza" y cómo calcular esto?
Roman Shkarin
Las funciones pares versus las funciones impares suenan como una nueva pregunta. Tal vez una pregunta de matemáticas?
hotpaw2
¿Podría explicar qué obtendremos cuando "el conjunto de datos original termine en la parte real del resultado FFT complejo, y todos los componentes impares terminen en la parte imaginaria" o por qué esto es mejor que cuando el conjunto de datos original lo hace no corresponde a valores reales de FFT y todos los componentes impares no corresponden a la parte imaginaria del resultado de FFT? Para mí es muy importante comprender el sentido físico de estas acciones.
Roman Shkarin
1
Ángulo de referencia = 0 al centro de la ventana. Entonces todos los cosenos serán pares (simétricos alrededor del centro) y se mostrarán en la parte real de cualquier resultado FFT complejo. Verdadero incluso para frecuencias no periódicas, y por lo tanto invariable con respecto al ancho de la ventana. Si desea que las cosas no cambien, las propiedades invariantes son útiles.
hotpaw2
¿Podría refinar todos sus mensajes sobre el caso cuando el relleno y el desplazamiento a cero se realizan exactamente ANTES de usar FFT para esta señal? Porque me parece que me confundí un poco :)
Roman Shkarin
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@Roman: desde mi experiencia, ya sea que lo hagamos en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia, la interpolación (digamos por el factor 2) da como resultado una frecuencia de muestreo más alta (señal muestreada, (2 * Fs)). Para la interpolación en el dominio del tiempo, insertamos ceros en muestras alternativas, de la misma manera que insertamos ceros porque estamos convirtiendo la señal a una frecuencia de muestreo más alta dejando intacto el ancho de banda de la señal. La razón exacta para el "relleno central" tiene que ver con el índice FFT frente al índice de banda base (BB). por ejemplo, señal BW fm y frecuencia de muestreo Fs, en el dominio de la frecuencia tenemos la señal fm centrada en + NF y -NFs donde N es entero (0,1,2 ...). La señal alrededor de DC (señal de banda base) ocupa de -fm / 2 a fm / 2 y la señal en Fs ocupa de Fs-fm / 2 a Fs + fm / 2 y así sucesivamente, todas estas réplicas llevan la misma información. En lugar de considerar -fm / 2 a DC, Estamos considerando Fs-fm / 2 (ambos son iguales), solo la diferencia es positiva o negativa. Finalmente, la señal que consideramos es {[DC a fm / 2] [Fs-fm / 2 a Fs]} por esta razón llenamos ceros adicionales (depende del factor de muestreo) entre [fm / 2 a Fs-fm / 2] por manteniendo intacta la señal original fm.

Taru
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¡Gracias! ¿Podría explicar por qué resta fm / 2 de la frecuencia de muestreo? También dijiste "la señal fm centrada en + NFs y -NFs donde N es entero (0,1,2 ...)" querías decir que esa señal se encuentra entre -NFs y + NFs, ¿verdad?
Roman Shkarin
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@Roman: Después del muestreo, tenemos réplicas de la señal (fm) en + NF y -NF. La señal de banda base (N = 0) se encuentra entre [-fm / 2 fm / 2]. Las réplicas (imágenes) de la señal original están centradas @ + NF y -NF (N = 1,2,3, ... ) Para N = 1, la señal (fm) está centrada en Fs, luego la banda de señal es [Fs-fm / 2 Fs + fm / 2] similar al caso de la banda base excepto que se agrega Fs.
Taru
Como entendí en el caso de la señal finita (tira de píxeles), el DFT reconoce esto como señal periódica, también la disposición de las muestras en la señal de origen tiene sentido en caso de relleno cero (el relleno cero dará resultados diferentes en caso de diferentes posiciones de muestras). Antes del DFT, realizamos un desplazamiento circular para organizar las muestras en la señal de origen de la misma manera que se organizarán después del DFT. ¿Tiene el desplazamiento circular alguna sensación de evitar errores causados ​​por convolución circular de zeropaddding? Lo siento, no tengo tanta experiencia en esta área.
Roman Shkarin
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Si tengo un resultado del filtro de paso de banda y quiero convertirlo nuevamente al dominio del tiempo.

¿Es también el enfoque correcto para el desplazamiento cíclico a la izquierda y rellenar ceros en el medio antes de aplicar la ventana y convertir de nuevo al dominio del tiempo?

jomegaA
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