Análisis numérico complejo

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¿Qué situaciones de análisis numérico se vuelven más / menos estables, tienen una convergencia más rápida / más lenta o son bastante diferentes cuando se trata de funciones de variable compleja en lugar de funciones de una variable real?

algorithms vtt
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Su pregunta es un poco vaga ... ¿Podría sugerir una "situación" o "algoritmo" particular que tuviera en mente? Nos ayudaría mucho responder su pregunta.
Paul
El único caso en el que aparece un complejo número de valores numéricos que conozco son las ecuaciones de Maxwell, pero no hay ninguna dificultad intrínseca solamente por algunos números que están en . Aún así, si reemplaza todos los números complejos por vectores o matrices reales, verá que la multiplicación por un número complejo se convierte en multiplicación por una matriz asimétrica asimétrica. No sé si esto implica algo. C
shuhalo
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@ Martin: El campo complejo es el escenario natural para polinomios debido al teorema fundamental del álgebra. Dado que los valores propios de una matriz son las raíces de su polinomio característico, y en general son complejos incluso para matrices reales, el álgebra lineal se construye de manera más natural en la parte superior del campo complejo.
Jack Poulson
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Por otro lado, atestigüe, por ejemplo, el algoritmo QR de doble desplazamiento, que realiza doble desplazamiento precisamente para evitar el uso de la aritmética compleja. Sea testigo también del algoritmo cuadrático Jenkins-Traub, que fue diseñado para encontrar raíces complejas de polinomios en un par conjugado a la vez ...
JM
Estoy un poco desgarrado por esto porque para agregar aún más confusión a la mezcla, a veces los números complejos se tratan básicamente como pares de números reales para fines de contabilidad.
Geoff Oxberry

Respuestas:

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La diferenciación numérica compleja es estable, a diferencia de la diferenciación numérica real.

Ver páginas 32-33 de "Análisis complejo aplicado y computacional" vol 3, Peter Henrici,

"La aproximación derivada de pasos complejos", JOAQUIM RRA MARTINS, PETER STURDZA y JUAN J. ALONSO,

y este artículo de Wikipedia sobre métodos variables complejos para la diferenciación numérica.

vtt
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Además, el uso numérico de la fórmula de diferenciación de Cauchy es a veces un algoritmo viable. Vea también los métodos de Lyness y otros que dependen de la transformación rápida de Fourier para calcular los coeficientes de Taylor de una función (es decir, evaluar una secuencia de derivadas en un valor dado).
JM
Por curiosidad, además del artículo de Wikipedia, ¿hay algún recurso en línea que nos pueda indicar?
Geoff Oxberry
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@ Geoff: Este y este trato con el enfoque de Lyness para la diferenciación; Este artículo de Squire y Trapp es el documento original que detalla el enfoque de "paso complejo" para la diferenciación numérica.
JM
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La aritmética de intervalo complejo utiliza diferentes tipos de intervalo, por ejemplo, rectangular o circular, por lo que hay más que considerar que cuando se usan intervalos reales.

"Aritmética de intervalos complejos y sus aplicaciones", Miodrag Petković, Ljiljana Petković

vtt
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¿Por qué responde su propia pregunta tres veces en lugar de responder con los tres comentarios a la vez?
Jack Poulson
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Un artículo:

"Algoritmos numéricos basados ​​en la teoría de la variable compleja", JN Lyness - Actas de la 22ª conferencia nacional de 1967, 1967

vtt
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