¿Hay alguna ventaja numérica en la resolución de la matriz simétrica en comparación con las matrices sin simetría?

Estoy aplicando el método de diferencias finitas a un sistema de 3 ecuaciones acopladas. Dos de las ecuaciones no están acopladas, sin embargo, la tercera ecuación se acopla a las otras dos. Noté que al cambiar el orden de las ecuaciones, digamos de a que la matriz de coeficientes se vuelve simétrica. $(x, y, z)$ $(x, z, y)$

¿Hay alguna ventaja en hacer esto? Por ejemplo, en términos de estabilidad o eficiencia / velocidad de solución. Las matrices son muy escasas, si eso es importante, los términos distintos de cero se encuentran a lo largo de diagonales centrales.

finite-difference symmetry boyfarrell
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Sí, se necesita mucho menos esfuerzo para resolver un sistema simétrico que uno asimétrico. Si, además, puede demostrar que su matriz de coeficientes es positiva definida, entonces está en un buen lugar.

Respuestas:

¡Absolutamente!

En primer lugar, algunos sistemas de álgebra lineal son lo suficientemente inteligentes como para almacenar solo la mitad de la matriz, esto podría ahorrarle un montón de memoria. Pero incluso si este no es el caso, varios algoritmos en álgebra lineal numérica explotarán la simetría.

Por ejemplo, dada una matriz simétrica, cualquier eigensolver sabrá de inmediato que todos los valores propios son de valor real, y el método de solución puede usar ese hecho.

$Ax=b$

$A=LU$ $L$ $U$ $A$ $A=LL^T$

Nico Schlömer
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"... y el método de solución puede usar ese hecho, por ejemplo, cortando los errores de redondeo en la parte imaginaria durante el cálculo". - más como el entorno informático utiliza un método que explota la simetría y garantiza resultados reales.