Soluciones fabricadas para Navier-Stokes incompresible: ¿cómo encontrar campos de velocidad libres de divergencia?

En el método de soluciones fabricadas (MMS) se postula una solución exacta, se sustituye en las ecuaciones y se calcula el término fuente correspondiente. La solución se usa para la verificación del código.

Para las ecuaciones incomprensibles de Navier-Stokes, MMS conduce fácilmente a un término fuente (distinto de cero) en la ecuación de continuidad. Pero no todos los códigos permiten términos fuente en las ecuaciones de continuidad, por lo que para estos códigos solo las soluciones fabricadas con campos de velocidad sin divergencia serán suficientes. Encontré este ejemplo para un dominio u $\Omega=[0,1]^2$ En casos 3D generales, ¿cómo se fabrica un campo de velocidad libre de divergencia?

$$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$$

Utilice una función de flujo vectorial o tome el producto cruzado de dos gradientes. Es decir: donde A es un campo vectorial de su elección, u u = ∇ f × ∇ g donde f y g son dos campos escalares de su elección.

$$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$$ $\boldsymbol{A}$ $$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$$ $f$$g$

Es difícil que la velocidad esté libre de divergencia y prescriba las condiciones de contorno, pero siempre que su código le permita establecer funciones arbitrarias para sus condiciones de contorno, debería estar bien.

ETA: Por supuesto, su ecuación de momento tendrá que aceptar una función de forzamiento, pero siempre me sentí mejor al forzar la ecuación de momento que al agregar un lado derecho a la ecuación de continuidad.

Esta no es una respuesta general, pero para las ecuaciones de Navier-Stokes, existen soluciones fabricadas que describen el flujo real. Por ejemplo, el campo de flujo Kovasznay es una opción popular:

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

La referencia original es: Kovasznay LIG, "Flujo laminar detrás de una cuadrícula bidimensional". Proc. Cambridge Philos. Soc., Página 44, 1948.

Eso es lo que suelo hacer.

Definir la función aerodinámica:

$$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$$

la velocidad es igual a:

$$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$$

Ahora puede elegir cualquier presión razonable de promedio cero y construir un término forzado.

$\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])