¿Resolviendo un enorme sistema lineal denso?

¿Hay alguna esperanza en resolver el siguiente sistema lineal de manera eficiente con un método iterativo?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

con

, donde Δ es una matriz muy escasa con algunas diagonales, que surge de la discretización del operador de Laplace. En su diagonal principal hay - 6 y hayotras 6 diagonales con 1 en él.$A=(\Delta - K)$$\Delta$$-6$$6$$1$

es unamatriz R n × n completa que consta completamente de unos.$K$$\mathbb{R}^{n \times n}$

Resolver funciona bien con métodos iterativos como Gauss-Seidel, porque es una matriz escasamente dominante en diagonal. Sospecho que el problema A = ( Δ - K ) es prácticamente imposible de resolver de manera eficiente para grandes números de n , pero ¿hay algún truco para resolverlo, explotando la estructura de K ?$A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

EDITAR: Haría algo como

// resolver para x k + 1 con Gauss-Seidel$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$$x^{k+1}$

$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

$\Delta$

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

Se crea de la siguiente manera en matlab

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• Usa el sistema de borde

$\ee$

utilizando un solucionador iterativo o directo.

• Use un método de Krylov y aplique la matriz como $A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$