El esquema de diferenciación central para la segunda derivada conduce a un mal condicionamiento

El esquema de diferencia central: produce una matriz de coeficiente tridiagonal [1 -2 1]; A medida que aumenta el número de puntos, esta matriz se vuelve mal condicionada. Sin embargo, esta es una discretización popular. ¿Por qué este esquema se usa con tanta frecuencia cuando es propenso al mal acondicionamiento, y cuál es la solución típica para el illconditoning?

$$\frac{d^2u}{dx^2}=\frac{u_{n+1}-2u_i + u_{n-1}}{\Delta x^2}$$

TL; DR: El operador continuo exhibe este comportamiento, cualquier discretización fiel simplemente lo heredará.

Corte más profundo: si observa el espectro (pares propios) del operador continuo $\frac{d^2}{dx^2}$$\cos(kx)$$\sin(kx)$$k^2$$\lambda_{min}$$\lambda_{max}$$\kappa = \lambda_{max}/\lambda_{min}$

$O(N)$