Métricas de uso común para cuantificar la irregularidad de una malla triangular

Digamos que tiene una malla triangular en un plano plano. Esto se ha diseñado para resolver eventualmente algún problema en la mecánica, por ejemplo.

Una malla de triángulos equiláteros es la mejor en la medida en que las distancias entre los vértices y entre los centroides son las mismas en todas partes. Esto hace que las interpolaciones y el cálculo de gradientes sean una tarea fácil y precisa. Sin embargo, debido a restricciones y circunstancias, no siempre es posible trabajar en una malla de todos los triángulos equiláteros.

Entonces, las preguntas se refieren a una malla de elementos triangulares de forma arbitraria.

Sobre elementos de malla individuales . ¿Qué métricas se usan comúnmente para cuantificar la diferencia de un triángulo genérico de alguna forma equilátera ideal subyacente?

Sobre toda la malla . ¿Qué métricas se utilizan para cuantificar la irregularidad de una malla de triángulos arbitrarios en general? Estas métricas deberían indicar qué tan codificada está la malla.

Gracias por pensarlo.

Nota Todas las contribuciones de la comunidad de elementos finitos han sido muy apreciadas. Para esta pregunta, tenga en cuenta que el interés es cuantificar las diferencias puramente en la geometría (triángulos arbitrarios vs equiláteros). El efecto posterior sobre los errores de interpolación y condicionamiento están fuera del alcance. Por supuesto, estos pueden ser perspicaces y relevantes, complican el manejo matemático.

Como han dicho @Nicoguaro y @Paul en los comentarios a la publicación de preguntas, hay muchas maneras de hacer este tipo de cosas, y no estoy seguro de si existe un único "mejor" enfoque.

De un estudio de revisión de Jonathan Richard Shewchuck en Berkley, una respuesta es:

Consulte el documento original (versión 31/12/2002) para obtener simbología, terminología, características especiales y posiblemente más (por ejemplo, tetraedros). El capítulo 6 trata sobre medidas de calidad. El documento vinculado es la versión extendida, y en la página web del JRS también hay una versión abreviada.

Personalmente, soy un fanático de la métrica de "longitud de volumen". Es un buen indicador escalar robusto de calidad simple (isotrópica) y es económico de calcular. En dos dimensiones:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

Para evaluar la calidad de una triangulación no estructurada, es típico observar histogramas de tales métricas de calidad de elementos. Hay muchas implementaciones de este tipo de cosas por ahí, pero una recta de avance MATLABcódigo base mío es aquí .

Además de las puntuaciones de longitud de volumen, los histogramas de los ángulos de los elementos y el grado de vértice también se calculan de forma predeterminada.

No creo que exista una respuesta a esta pregunta en general , porque todo depende del uso previsto para la malla. Por ejemplo, si está haciendo dinámica de fluidos computacional, es posible que desee tener una malla que sea extremadamente anisotrópica cerca de la capa límite. Ahora, si está haciendo electromagnetismo computacional, la mejor malla probablemente será completamente diferente.

Hay en la literatura muchas definiciones diferentes para un criterio de "calidad de malla". La mayoría de ellos favorecerá las mallas con triángulos que sean lo más equiláteros posible. También se puede mencionar la idea de maximizar el ángulo más pequeño (que se realiza mediante la triangulación de Delaunay para un conjunto fijo de puntos). Está justificado por el análisis de Jonathan Shewchuk mencionado en uno de los comentarios, que relaciona este ángulo con el número de condición de la matriz de rigidez para la ecuación de Laplace discretizada con elementos P1, pero nuevamente, dependiendo del uso previsto, la buena malla de alguien puede ser alguien Malla de los demás.

No creo que tenga sentido "cuantificar las diferencias puramente en la geometría (triángulos arbitrarios vs equiláteros)": antes de medir si los triángulos son equiláteros y decidir qué "desviación wrt equilateralidad" es la mejor, es necesario averiguar si "triángulos equiláteros" es lo que queremos, ¡y no siempre es así! Todo proviene de la "interpolación y condicionamiento" que usted menciona. Sí, como dijiste "complica el manejo matemático" pero sin él, no es posible hacer la diferencia entre los criterios objetivos para una aplicación dada y los criterios que no tienen ningún sentido.