ODE vs DAE vs ADE?

Estoy totalmente confundido entre las EDO con las que estoy familiarizado y las ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE) y las Ecuaciones diferenciales algebraicas (ADE). ¿Son los mismos pero solo nombres diferentes o cuál es la diferencia clave entre ellos (su naturaleza y métodos de solución)? Gracias y un saludo

ode numerical-modelling dae MBM
fuente

Con respecto a los métodos de solución: los DAE son bastante más difíciles de manejar. Eche un vistazo al trabajo de Hindmarsh y Petzold, por ejemplo. Los métodos convencionales como RK no funcionarán en ellos sin mucha ayuda.

No olvide PDE, DDE, SDE ...

user541686

Respuestas:

Al menos una diferencia es que en un sistema de EDO, todas las ecuaciones son diferenciales, por ejemplo: mientras que la definición de Los DAE con los que estoy familiarizado incluyen algunas ecuaciones no diferenciales (es decir, algebraicas) en el conjunto, por ejemplo: donde es no- trival, y su solución no puede sustituirse fácilmente en la primera ecuación para simplificar. Estos se vuelven más complejos cuando hay más términos algebraicos.

\dot{x} = f (x, y) \dot{y} = g (x, y)

$\dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y)$

\dot{x} = h (x, y) y = l (x, y)

$\dot{x}=h(x,y)\\ y=l(x,y)$

l

$l$

Los DAE son más desafiantes numéricamente; Los desafíos que conllevan son similares pero a veces más severos que los que atienden problemas rígidos. En el volumen II del texto de Hairer y Wanner se puede encontrar una explicación muy detallada de los DAE y cómo resolverlos numéricamente .

Bill Barth
fuente

Prolly lo habría expresado como yo mismo en el segundo conjunto de ecuaciones.

l (x, y) = 0

$l(x,y)=0$

No estoy familiarizado con DAE vs ADE también, pero Wikipedia los clasifica como diferentes a pesar del nombre. La página en ADE también hace todo lo posible para decir que son diferentes.

tpg2114

@JM, a la larga, estoy de acuerdo, pero estaba tratando de hacer coincidir el tema de la ODE. Dicho esto, todo esto puede escribirse en una forma "igual a cero" si incluimos las derivadas en los argumentos de la función.

Bill Barth

-1 Las formulaciones escritas aquí no permiten DAE generales. Podríamos decir que es en realidad que no es lo mismo que ; este último está mucho más limitado. OTOH, si interpretamos que son iguales, entonces la ecuación es incorrecta, porque no permite un término derivado en absoluto, es solo un ecuación algebraica La formulación correcta para un DAE es lo que se ve en la respuesta de @adhalanay, que permite derivados en términos algebraicos.

\dot{x} = f (x, y)

$\dot{x} = f(x,y)$

\dot{x} (t) = (f (x, y)) (t)

$\dot{x}(t) = (f(x, y))(t)$

\dot{x} (t) = f (x (t), y (t))

$\dot{x}(t) = f(x(t), y(t))$

y (t) = l (x (t), y (t))

$y(t) = l(x(t), y(t))$

user541686

@Mehrdad, bueno, siempre eres libre de exponer tu propia respuesta. No tenía la intención de dar un tratado sobre el tema.

Bill Barth

Las ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE) son ecuaciones de la forma , siendo la función desconocida . De alguna manera, son generalizaciones de EDO. Un buen lugar para comenzar es aquí . Por otro lado, una ecuación diferencial algebraica es una cosa totalmente diferente. La página de wikipedia ofrece una descripción general, pero básicamente es una ecuación que involucra operadores diferenciales en un álgebra diferencial. $F(t,x,x')=0$ $x(t)$

adhalanay
fuente

Aquí hay una copia idéntica de una respuesta en MO :

Una forma intuitiva de entender un DAE es interpretarlo como un sistema dinámico que puede ser controlado por algunas señales de entrada, cuyas señales de salida tienen que cumplir algunas restricciones (equitativas). Para un sistema multicuerpo típico, las señales de entrada son las fuerzas perpendiculares a las restricciones, las señales de salida son las posiciones de los cuerpos y las restricciones (equitativas) en las señales de salida son distancias fijas entre los cuerpos.

Las señales de entrada ahora deben controlar el sistema dinámico de tal manera que las señales de salida siempre satisfagan las restricciones. Esto es difícil para un sistema multicuerpo, porque las fuerzas solo controlan la tasa de cambio de las velocidades, y las velocidades solo controlan la tasa de cambio de las posiciones, mientras que solo las posiciones deben satisfacer las restricciones.

Reducir el índice es fácil en teoría, porque si asumimos que las posiciones satisfacen las restricciones en la instancia de tiempo actual, entonces podemos reemplazar las restricciones en las posiciones por restricciones en las velocidades asegurando que las posiciones continuarán satisfaciendo sus restricciones. Sin embargo, en la práctica, no queremos descartar la restricción en las posiciones después de determinar las restricciones en las velocidades, pero tenemos que desechar algunas de las ecuaciones iniciales (diferenciales), si no queremos terminar con un sistema sobredeterminado.

$c(y,t)=0$ $\frac{d}{dt}c(y(t),t)=0=\frac{\partial c}{\partial y}*\frac{d}{dt}y+\frac{\partial c}{\partial y}$ $\frac{d}{dt}y$ $\frac{d}{dt}y$ $\frac{d}{dt}y=v$ $v=\dot{y}$ $0=\frac{\partial c}{\partial y}*v+\frac{\partial c}{\partial y}$ $0=\frac{\partial c}{\partial y}*\dot{y}+\frac{\partial c}{\partial y}$ $\dot{y}$

Desechar algunas de las ecuaciones iniciales (diferenciales) es menos sencillo (o canónico). Si podemos usar una ecuación de restricción como para determinar en función de las otras variables (es decir, en este caso), entonces podemos descartar la ecuación diferencial para , es decir, una ecuación diferencial de la forma . Pero también podríamos haber decidido descartar la ecuación diferencial para , porque la restricción también permite determinar $y_1^2+y_2^2=1$ $y_1$ $y_1(t)=\sqrt{1-(y_2(t))^2}$ $y_1$ $\frac{d}{dt}y_1=\dots$ $y_2$ $y_2$ en función de las otras variables. Pero no importa cuán fácil sea tirar algo, esto puede destruir fácilmente alguna simetría del sistema que no queríamos destruir, o podríamos vernos obligados a cambiar qué ecuación desechamos durante la simulación numérica y, por lo tanto, introducir artefactos no deseados . Entonces, esta parte hace que la reducción del índice sea realmente desafiante en la práctica.

Thomas Klimpel
fuente