Esquema de diferencias finitas para flujo no isotérmico compresible en medios porosos

Mi desafío es resolver el siguiente sistema de ecuaciones, que describe la combustión de gas en medios porosos:

1) continuidad

$\varepsilon \frac{\partial \rho_g}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial x} \left(\rho_g u_x\right)=0$

2) Ley de Darcy (impulso)

$u_x=-\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$

3) Ecuación de estado, tenga en cuenta la temperatura variable

$\rho_g=\frac{M_Rp}{RT_g(x)}$

4) Ecuación energética para el gas.

5) Ecuación energética para la fase sólida.

He descrito y resuelto con éxito el caso en el que se supone que la velocidad, la presión y la densidad son constantes, es decir, las tres primeras ecuaciones desaparecen. Pero resolver la parte gasodinámica resultó ser un problema.

La aplicación de un esquema de viento ascendente a 1) (como se sugirió aquí: una buena diferencia finita para la ecuación de continuidad ) proporciona un criterio de estabilidad realmente duro en el paso de tiempo, me veo obligado a tener un valor tan bajo como 1e-6 con un 1e-2 espacial paso temporal, incluso cuando tomo el caso isotérmico, sin tener en cuenta la combustión por el momento. Y necesito al menos 1e-3 para resolver las ecuaciones de energía.

Las primeras tres ecuaciones también se pueden juntar para formar

6)$\frac{\partial p}{\partial t} +C\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(p^2 \right)=0$

pero solo en el caso isotérmico , por lo que es de poca ayuda.

Sé que las personas han resuelto 1) -5) y 6) antes, pero no pude encontrar una descripción de los esquemas que usaron. Intenté buscar artículos sobre flujo compresible en medios porosos específicamente, pero todos ellos tratan con modelos mucho más complejos (multifase, sólidos deformables, etc.) y usan métodos de resolución muy complicados.

¿Podría alguien sugerir un buen esquema FD para (1) - (3) o decir cómo se forma el criterio de estabilidad si uno solo usa el viento hacia arriba como lo hice yo?

Para los problemas hiperbólicos resueltos explícitamente, debe cumplir una condición de CFL (Courant, Friedrichs, Lewy). Esto asegura que el esquema utilizará datos solo del dominio de dependencia para la ecuación diferencial. Para obtener más información sobre la condición de CFL y por qué es necesaria, puede leer, por ejemplo, pp.215-218 en Métodos de diferencia finita para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de LeVeque. También en ese capítulo, se presentan algunos métodos alternativos, pero el criterio de estabilidad sigue ahí. La condición CFL para el método de viento ascendente en 1D es .$\frac{u\Delta t}{\Delta x} < 1$

En los métodos Discontinuous Galerkin (DG), el uso de los métodos Runge-Kutta de preservación de la estabilidad fuerte (SSP) se está volviendo popular. Aunque estos son métodos explícitos, a menudo permiten utilizar algunos múltiplos del número de Courant habitual a diferencia de un método simple de Euler. Eso significa que puede tomar pasos de tiempo más largos pero a un mayor costo por paso de tiempo. Puede ser posible adaptar los métodos SSPRK a su problema, pero solo lo he visto para los métodos DG y mi comprensión de su aplicabilidad es limitada.

Podría ser posible utilizar un método implícito en el tiempo ya que son incondicionalmente estables. Para mantener la precisión a un nivel aceptable, puede terminar con la restricción original en el paso de tiempo. El libro de LeVeque parece sugerir que el uso de Euler hacia atrás o un método de Adams para la discretización del tiempo y la diferenciación central para la derivada espacial podría funcionar.

Respaldo la votación de los métodos de Volumen finito o, si quieres un desafío, los métodos de DG.