¿Qué métodos numéricos preservan la simetría de inversión de tiempo?

Si tengo un sistema físico que contiene una simetría inversión del tiempo (por ejemplo, un hamiltoniano con V ( x ) real) y quiero para resolver las ecuaciones diferenciales que describa este sistema, ¿qué solucionador de EDO debo usar para mantener la simetría de inversión de tiempo (por ejemplo, en matemática)? ¿Qué solucionadores rompen esta simetría?$H(x,p)=p^2/2m + V(x)$$V(x)$

EDITAR: Quiero extender esta pregunta. Consideremos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas ¿Qué método de integración se usa mejor si el sistema subyacente contiene una simetría de inversión de tiempo?

$$\dot{a}_1 (t) = f_1(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_2(t) = f_2(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_3(t) = f_3(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \vdots$$

Lo que generalmente se quiere en esta situación es preservar un análogo discreto de la simetría del tiempo: es decir, si la discretización del tiempo se aplica para resolver primero hacia adelante y luego hacia atrás en el tiempo, se recupera la condición inicial. Esto es cierto si el método es invariante bajo las siguientes sustituciones:

$$\Delta t \to -\Delta t$$ $$a^{n+j} \to a^{n-j}$$

$a^n$$a(t^n)$

$$a^{n+1} = a^n + \Delta t f(a^n)$$ $$a^n = a^{n-1} + \Delta t f(a^n).$$ $$a^{n+1} = a^{n-1} + 2\Delta t f(a^n)$$