Conjeturas iniciales para sistemas lineales perturbados

Suponga que resuelve un sistema lineal mediante un método iterativo, por ejemplo, gradientes conjugados o iteración de Richardson. Luego intenta resolver un sistema lineal que está ligeramente perturbado en la matriz y el lado derecho, por ejemplo, ˜ A ˜ u = ˜ f .$Au = f$$\tilde A \tilde u = \tilde f$

¿Tiene sentido usar la solución anterior como valor inicial para el método iterativo? "Tiene sentido" significa que hay una ganancia confiable en el tiempo de ejecución del método iterativo. Me pregunto si esto conduce a una mejora en general, de modo que pueda considerarse como una práctica recomendada.$\tilde u_0 = u$

Una aplicación que tengo en mente proviene de elementos finitos adaptativos. Si hemos calculado una solución en una cuadrícula gruesa, y queremos encontrar una solución ˜ u en una cuadrícula más fina (que podría haberse generado mediante un método adaptativo), el valor inicial para cualquier algoritmo iterativo puede ser la prolongación de u en la cuadrícula más fina. De manera similar, el método de Newton o la iteración de Picard, que está involucrado en la solución de problemas no lineales, podría "potenciarse" de esa manera, si es que tiene algún sentido.$u$$\tilde u$$u$

Hemos probado esto con elementos finitos adaptativos donde llevamos la solución anterior a la nueva malla por interpolación. Resulta que comenzar con este vector no tiene un efecto notable en el número de iteraciones CG. En otras palabras, para la iteración CG, una buena suposición inicial es en su mayoría inútil.

Por supuesto, la situación es completamente diferente para los métodos no lineales (como el método de Newton) donde vale la pena tomar la última iteración en la malla gruesa como la suposición inicial para la malla fina. En la práctica, a menudo se realizan 5-10 iteraciones en la malla más gruesa, pero luego se necesitan solo 1-2 iteraciones en cada malla refinada sucesivamente.

Creo que realmente depende del número de condición de la matriz A. Si tiene un número de condición grande, perturbar el sistema muy ligeramente puede producir una solución radicalmente diferente. Para Adaptive FEM, depende de lo que espere que sea el comportamiento del sistema (y, obviamente, la calidad de la malla en sí). Si espera una transición bastante suave de la grilla gruesa a la fina, entonces deberíamos esperar que el sistema perturbado tenga una solución bastante cercana al sistema no perturbado. Si puede esperar cambios dramáticos repentinos, no hay una garantía real de la cercanía de los sistemas perturbados y no perturbados.