¿Es el método de disparo el único método numérico general para resolver EDO no lineales de valor límite?

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Durante mi deambulación en Mathematica.se , gradualmente me di cuenta de que un cierto tipo de problema de resolución de ecuaciones diferenciales nos "preocupa" todo el tiempo, es decir, el problema del valor límite (BVP) de las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales (EDO).

El método de disparo , que es utilizado por la función MathematicaNDSolve , parece ser el único método que los usuarios de Mathematica.SE conocen. A veces funciona bien , pero en los casos más (según mi opinión personal) , que es dolorosa para encontrar una estimación inicial adecuada .

A menudo es ese caso que no se puede encontrar una suposición correcta. Aquí hay un ejemplo que me hizo publicar esta pregunta.

Entonces, ¿ es el método de disparo el único método numérico general para resolver BVP de ODE no lineales ?

Si es así, ¿hay una buena manera de obtener una suposición inicial adecuada?

Si no, ¿cuál es la alternativa? Si es posible, brinde una introducción o enlaces para los solucionadores existentes que implementan estas alternativas.

ode nonlinear-equations xzczd
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Respuestas:

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¿Es el método de disparo el único método numérico general para resolver BVP de ODE no lineales?

No.

La mayoría de los otros métodos constan de tres partes:

  1. Discretización . Esto puede hacerse con diferencias finitas, volúmenes finitos, elementos finitos (Galerkin o colocación), métodos espectrales, etc. Esto reduce el problema de uno infinito a un sistema finito dimensional de ecuaciones algebraicas no lineales.
  2. Un solucionador no lineal . Por lo general, este es un método de tipo Newton, lo que significa que linealiza el problema localmente y calcula una actualización. Esto reduce el problema a una secuencia de sistemas algebraicos lineales.
  3. Un solucionador lineal .

A diferencia del disparo, estos métodos se generalizan fácilmente a problemas elípticos en dimensiones superiores. Si lee algún libro introductorio sobre métodos numéricos, encontrará una descripción de algún método de este tipo. Para un solucionador existente, vea, por ejemplo, MATLAB bvp4c.

Estos métodos aún requieren una suposición inicial. Las buenas conjeturas iniciales generalmente se basan en una idea específica del problema. Creo que no existe una técnica general para encontrar buenas conjeturas iniciales para BVP arbitrarias. Debe tener en cuenta que los BVP no lineales pueden tener múltiples soluciones, y la que obtenga dependerá de su suposición inicial.

David Ketcheson
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No, no es. También hay

  • tiro múltiple
  • colocación
  • diferencias finitas
  • iteraciones de punto fijo

y probablemente un poco más

ene
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Er ... ¿tiene alguna introducción para este método o solucionadores existentes, etc., recomendado?
xzczd
La referencia estándar es Ascher, Mattheij y Russell: Solución numérica de problemas de valor límite para ecuaciones diferenciales ordinarias
enero
Un rápido google para la colocación de bvp dio algunos consejos para la resolución de los autores mencionados anteriormente. El disparo múltiple y las diferencias finitas son fáciles de implementar pero muy limitadas por los requisitos de memoria. Las iteraciones de punto fijo también se implementan rápidamente, pero no hay garantía de convergencia.
Jan