matriz de covarianza en EKF?

Estoy luchando con el concepto de matriz de covarianza. Ahora, entiendo que σ x x , σ y y , y σ θ θ que Describe la incertidumbre. Por ejemplo, para σ x

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$$ $\sigma_{xx}$$\sigma_{yy}$$\sigma_{\theta \theta}$$\sigma_{xx}$, describe la incertidumbre del valor de x. Ahora, mi pregunta sobre el resto de sigmas, ¿qué representan? ¿Qué significa si son ceros? Puedo interpretar que si es cero, significa que no tengo incertidumbre sobre el valor de x.$\sigma_{xx}$

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Tenga en cuenta que estoy leyendo Principios del movimiento del robot: teoría, algoritmos e implementaciones de Howie Choset et. al., que establece que

Según esta definición, es lo mismo que σ 2 i, la varianza de X i . Para i ≠ j , si σ i j = 0 , entonces X i y X j son independientes entre sí.$\sigma_{ii}$$\sigma_{i}^{2}$$X_{i}$$i ≠ j$$\sigma_{ij} = 0$$X_{i}$$X_{j}$

Esto puede responder a mi pregunta si el resto de las sigmas son ceros, sin embargo, todavía estoy confundido acerca de la relación entre estas variables, por ejemplo, e y . ¿Cuándo sucede esto? Me refiero a la correlación entre ellos. O, en otras palabras, ¿puedo suponer que son ceros?$x$$y$

Otro libro es FastSLAM: Un método escalable ... de Michael y Sebastian que dice

Los elementos fuera de la diagonal de la matriz de covarianza de este gaussiano multivariado codifican las correlaciones entre pares de variables de estado.

No mencionan cuándo podría ocurrir la correlación y qué significa.

Aquí hay una caja de juguetes donde los elementos fuera de la diagonal no son cero.

Considere un vector de estado que incluya la posición de las ruedas izquierda y derecha en lugar de una sola posición para el robot. Ahora, si la rueda izquierda tiene una posición de 100 m, entonces sabe que la rueda derecha también tendrá una posición de aproximadamente 100 m (dependiendo de la longitud del eje). A medida que la rueda izquierda aumenta de posición, también lo hará la rueda derecha, en general. No es una correlación exacta 1: 1, por ejemplo, no se mantiene exactamente cuando el robot está girando, pero en general se mantiene.

Entonces, aquí la entrada fuera de la diagonal entre la posición x de la rueda izquierda y la posición x de la rueda derecha estaría cerca de 1.

Para tener una idea de la matriz de covarianza, sin entrar en los detalles matemáticos aquí, es mejor comenzar con una matriz de 2x2. Luego recuerde que la matriz de covarianza es una extensión del concepto de varianza en el caso multivariante. En el caso 1D, la varianza es una estadística para una sola variable aleatoria. Si su variable aleatoria tiene una distribución gaussiana con media cero, su varianza puede definir con precisión la función de densidad de probabilidad.

$\sigma_{xx}$$\sigma_{yy}$$x$$y$$\sigma_{xy}$

$x$$y$$x$$y$$\sigma_{xy}$

$x$$y$$x$$y$

$\theta$

$1 \sigma$

Esto también es cierto en el caso 3D. Me encantaría obtener más matemática aquí, pero tal vez algún tiempo después.