^{Nota sobre el vocabulario: la palabra "hamiltoniano" se usa en esta pregunta para hablar sobre matrices hermitianas.}

El algoritmo HHL parece ser un tema activo de investigación en el campo de la computación cuántica, principalmente porque resuelve un problema muy importante que es encontrar la solución de un sistema lineal de ecuaciones.

De acuerdo con el algoritmo original Quantum en papel para resolver sistemas lineales de ecuaciones (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) y algunas preguntas formuladas en este sitio

• Estimación de fase cuántica y algoritmo HHL: ¿se requieren conocimientos sobre valores propios?
• Algoritmo cuántico para sistemas lineales de ecuaciones (HHL09): Paso 2 - Preparación de los estados iniciales $\vert \Psi_0 \rangle$ y $\vert b \rangle$

El algoritmo HHL se limita a algunos casos específicos. Aquí hay un resumen (¡que puede estar incompleto!) De las características del algoritmo HHL:

Algoritmo HHL

El algoritmo HHL resuelve un sistema lineal de ecuación

Limitaciones en $A$ :

• $A$ debe ser Hermitiano (y solo la matriz Hermitiana funciona, veaesta discusión en el chat).
• valores propios necesidades 's para estar en [ 0 , 1 ) (véase laestimación de fase cuántica y HHL algoritmo - conocimientos sobre los valores propios requeridos)$A$$[0,1)$
• necesita ser eficientemente implementable. Por el momento, las únicas matrices conocidas que satisfacen esta propiedad son: $e^{iAt}$
  • hamiltonianos locales (ver Simuladores cuánticos universales (Lloyd, 1996) ).
  • -hamiltonianos dispersos (verGeneración de estado cuántico adiabático y conocimiento estadístico cero (Aharonov y Ta-Shma, 2003)).$s$

Limitaciones en :$\vert b \rangle$

• debería ser de manera eficiente que se puede preparar. Este es el caso de: $\vert b \rangle$
  1. Expresiones específicas de . Por ejemplo el estado | b ⟩ = n ⨂ i = 0 ( | 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ es eficientemente preparable. $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. representa la discretización de una distribución de probabilidad de manera eficiente integrable (verCreación de superposiciones que corresponden a las distribuciones de probabilidad de manera eficiente integrables (Grover y Rudolph, 2002)).$\vert b \rangle$

Limitaciones en (salida):$\vert x \rangle$

• $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

Pregunta: Teniendo en cuenta todas estas limitaciones e imaginando que estamos en 2050 (o tal vez en 2025, ¿quién sabe?) Con chips cuánticos a gran escala tolerantes a fallas (es decir, no estamos limitados por el hardware), qué problemas del mundo real ¿podría resolver el algoritmo HHL (incluidos los problemas donde HHL solo se usa como una subrutina)?

Conozco el análisis de recursos concretos en papel del algoritmo del sistema lineal cuántico utilizado para calcular la sección transversal de dispersión electromagnética de un objetivo 2D (Scherer, Valiron, Mau, Alexander, van den Berg y Chapuran, 2016) y de la implementación correspondiente en el lenguaje de programación Quipper y estoy buscando otros ejemplos del mundo real donde HHL sería aplicable en la práctica. No necesito un artículo publicado, ni siquiera un artículo inédito, solo quiero tener algunos ejemplos de casos de uso del mundo real .

EDITAR:

Incluso si estoy interesado en todos los casos de uso, preferiría algunos ejemplos en los que HHL se usa directamente, es decir, no se usa como una subrutina de otro algoritmo.

Estoy aún más interesado en ejemplos de sistemas lineales que resultan de la discretización de un operador diferencial que podría resolverse con HHL.

Pero permítanme enfatizar una vez más que me interesan todos los casos de uso (subrutinas o no) que conozcan .

Hace un par de años, Montanaro y Pallister mostraron en algoritmos cuánticos y el método de elementos finitos que el algoritmo HHL podría aplicarse al método de elementos finitos (FEM), que es una "técnica para encontrar aproximaciones numéricas de manera eficiente a las soluciones de valor límite". problemas (BVP) para ecuaciones diferenciales parciales, basadas en la discretización del espacio de parámetros a través de una malla finita " .

Mostraron que dentro de este contexto, HHL podría usarse para lograr (tal vez a lo sumo) una aceleración polinómica sobre el algoritmo clásico estándar (el "método de gradiente conjugado").

Con respecto a los casos de uso del mundo real, afirman que

$n$

$A$

Rebentrost y col. recientemente utilizó el algoritmo HHL09 en su artículo A Quantum Hopfield Neural Network (2018) , para la optimización de la función energética de la red Hopfield .

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

En resumen, creo que una vez que tengamos computadoras cuánticas con un número suficientemente grande de qubits y tiempo de decoherencia, el algoritmo HHL será una de las subrutinas más útiles para cualquier algoritmo de aprendizaje automático cuántico (ya que casi todo el aprendizaje automático y la red neuronal los algoritmos implican alguna forma de "descenso de gradiente" u "optimización").