Construcción de puerta Quantum XNOR

Intenté preguntar aquí primero, ya que se había hecho una pregunta similar en ese sitio. Sin embargo, parece más relevante para este sitio.

Tengo entendido que una puerta cuántica XOR es la puerta CNOT. ¿Es la puerta cuántica XNOR una puerta CCNOT?

Cualquier función clásica de un bit donde x ∈ { 0 , 1 } n es una entrada de n bits y y ∈ { 0 , 1 } es una salida de n bits puede escribirse como un cálculo reversible, f r : ( x , y ) ↦ ( x , y ⊕ f ( x ) ) (Tenga en cuenta que cualquier función de $f:x\mapsto y$$x\in\{0,1\}^n$$n$$y\in\{0,1\}$$n$

$$f_r:(x,y)\mapsto (x,y\oplus f(x))$$ $m$las salidas se pueden escribir como solo funciones separadas de 1 bit).$m$

Una puerta cuántica que implementa esto es básicamente la puerta cuántica correspondiente a la evaluación de la función reversible. Si simplemente escribe la tabla de verdad de la función, cada línea corresponde a una fila de la matriz unitaria, y la salida le indica qué entrada de columna contiene un 1 (todas las demás entradas contienen 0).

En el caso de XNOR, tenemos la tabla de verdad estándar y la tabla de verdad de función reversible Por lo tanto, la matriz unitaria es U=( 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

$$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} (x,y) & (x,y\oplus f(x)) \\ \hline 000 & 001 \\ 001 & 000 \\ 010 & 010 \\ 011 & 011 \\ 100 & 100 \\ 101 & 101 \\ 110 & 111 \\ 111 & 110 \end{array}$$ Esto se puede descomponer fácilmente en términos de un par de compuertas controladas y no un par de vueltas o dos. $$U=\left(\begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right).$$

$f(x)$$f(x)$

$x$$a,b$$a\in\{0,1\}^{n-1}$$b\in \{0,1\}$$a$$f(a,b)$$b$

$$f:(a,b)\mapsto(a,f(a,b)).$$

$$\begin{array}{c|c} ab & f(a,b) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array}$$ $a=0$$1,0$$a=1$ $$\begin{array}{c|c} ab & af(a,b) \\ \hline 00 & 01 \\ 01 & 00 \\ 10 & 10 \\ 11 & 11 \end{array}$$ $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $\text{cNOT}\cdot(\mathbb{1}\otimes X)$

El XNOR cuántico no es un CCNOT. CCNOT tomaría 3 bits como entrada, mientras que XOR, XNOR y CNOT tomarían solo 2 bits o qubits como entrada.

Aquí se explica la razón por la que decimos que el XOR puede considerarse un CNOT , y se puede usar el mismo razonamiento para construir el XNOR (2 qubits).