¿Qué significa la notación de código de corrección de error cuántico?

Entiendo la notación para los códigos de corrección de errores clásicos. Por ejemplo, " Hamming (7,4) " significa un código de Hamming que usa 7 bits para codificar bloques de 4 bits.

¿Qué significa la notación para los códigos de corrección de errores cuánticos? Por ejemplo, hay un documento que trata con un código [[4,2,2]]. ¿Cuáles son estos tres números? ¿Qué significan los corchetes dobles?

Un código Es un código de corrección de error cuántico que codifica qubits en un estado qubit, de tal manera que cualquier operación que asigne un estado codificado a otro estado codificado debe actuar en al menos qubits. (Así, por ejemplo, cualquier estado codificado que haya sido sometido a un error que consista como máximo en operaciones Pauli en principio puede recuperarse perfectamente).$[\![n,k,d]\!]$$k$$n$$d$$\lfloor (d-1)/2 \rfloor$

Esta notación generaliza la notación para los códigos clásicos de corrección de errores, en los que las cadenas de "texto sin formato" de bits se codifican en cadenas de "palabras de código" de bits , de tal manera que al menos bits deben invertirse para transformar entre dos palabras de código que representan diferentes textos claros. (En este contexto y en el caso cuántico, se denomina distancia del código ). Los corchetes dobles se usan simplemente para indicar que el código al que se hace referencia es un código de corrección de error cuántico en lugar de un código clásico.$[n,k,d]$$k$$n$$d$$d$

Tomando un código :$\left[\left[n, k, d\right]\right]$

El equivalente clásico a esto es un código , que es un código que se refiere al número de bits, n , que codifica k bits. El tercer número, d , es la distancia mínima de Hamming tomada entre dos palabras de código. Esto es igual al peso mínimo de Hamming (es decir, el número de bits distintos de cero) de las palabras de código distintas de cero.$\left[n, k, d\right]$$n$$k$$d$

Según el caso clásico, en el caso cuántico , los dos primeros números se refieren a los números de qubits, , que codifican k qubits. d todavía se usa para referirse a la distancia, pero la definición de distancia debe cambiarse.$n$$k$$d$

$t$$E_a$$\left(X, Y \text{ or } Z\right)$$E_1 = X\otimes I\otimes I\otimes Z\otimes I$$E_1$$t=2$$\left<j\vert E_a\vert i\right>\neq C_a\delta_{ji}$$C_a$$i$$j$

Para obtener más detalles, consulte, por ejemplo, el Capítulo 7 de las notas de cálculo cuántico de Preskill .