¿Cuál es la diferencia entre el momento polar de inercia,

Esta pregunta es tan fundamentalmente básica que casi me da vergüenza hacerla, pero surgió en el trabajo el otro día y casi nadie en la oficina pudo darme una buena respuesta. Estaba calculando el esfuerzo cortante en un miembro usando la ecuación,$\frac{Tr}{J_T}$ y noté que para un eje con una sección transversal circular, $J_T = I_P$.

Ambos $I_P$ y $J_T$ se usan para describir la capacidad de un objeto para resistir la torsión. $I_P$ Se define como, $\int_{A} \rho^2 dA$ dónde $\rho$ = la distancia radial al eje sobre el cual $I_P$está siendo calculado Pero$J_T$ no tiene ecuaciones analíticas exactas y se calcula en gran medida con ecuaciones aproximadas que ninguna referencia que analicé realmente elaboró.

Entonces mi pregunta es, ¿cuál es la diferencia entre el momento polar de inercia, $I_P$y la constante torsional $J_T$? No solo matemáticamente, sino prácticamente. ¿De qué propiedad física o geométrica es cada representación? Por que es$J_T$ tan difícil de calcular?

La constante de torsión $J_T$ relaciona el ángulo de giro con el par aplicado a través de la ecuación:

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ dónde $T$ es el par aplicado, $L$ es la longitud del miembro, $G$ es el módulo de elasticidad en corte, y $J_T$ es la constante torsional

El momento polar de inercia, por otro lado, es una medida de la resistencia de una sección transversal a la torsión con una sección transversal invariante y sin deformación significativa .

El caso de una barra circular bajo torsión es especial debido a la simetría circular, lo que significa que no se deforma y su sección transversal no cambia bajo torsión. Por lo tanto$J_T = I_P$.

Cuando un miembro no tiene simetría circular, entonces podemos esperar que se deforme bajo torsión y, por lo tanto, $J_T \neq I_P$.

Lo que deja el problema de cómo calcular $J_T$. Desafortunadamente, esto no es sencillo, por lo que los valores (generalmente aproximados) para formas comunes están tabulados.

Una forma de calcular la constante torsional es mediante el uso de la función de tensión de Prandtl (otra es mediante el uso de funciones de deformación ).

Sin entrar en demasiados detalles, uno debe elegir una función de estrés de Prandtl $\Phi$que representa la distribución del estrés dentro del miembro y satisface las condiciones de contorno (¡no es fácil en general!). También debe satisfacer la ecuación de compatibilidad de Poisson:

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ Dónde $\theta$ es el ángulo de giro por unidad de longitud.

Si hemos elegido la función de estrés para que $\Phi = 0$ en el límite (condición de límite libre de tracción) podemos encontrar la constante torsional mediante:

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Ejemplo: varilla de sección transversal circular

Debido a la simetría de una sección transversal circular, podemos tomar:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ donde R es el radio exterior. Entonces obtenemos: $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Ejemplo: varilla de sección transversal elíptica

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ y $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ que ciertamente no es igual al momento polar de inercia de una elipse: $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

Ya que en general $J_T < I_P$, si utilizó el momento polar de inercia en lugar de la constante de torsión, calcularía ángulos de giro más pequeños.

Esto es casi una coincidencia, y solo es cierto para secciones transversales circulares sólidas o huecas. ¡Por supuesto, los ejes que llevan torsión a menudo son circulares, por razones que son independientes de la pregunta!

La torsión de un eje circular es físicamente simple debido a la simetría de la forma circular. Por simetría, las tensiones y tensiones en cualquier punto solo pueden ser una función de la distancia radial desde la línea central del eje. Según el teorema de Pitágoras, puede tomar un par arbitrario de ejes y expresar el radio como$r^2 = x^2 + y^2$.

Usando ese hecho, puede convertir la integral sobre la sección transversal en la suma de dos integrales en el $x$ y $y$ direcciones, y de nuevo por simetría, esas dos integrales deben ser iguales entre sí.

La forma de las integrales es exactamente la misma forma matemática que para los segundos momentos del área de una viga circular, lo que conduce al resultado que usted solicitó.

Esto no funciona para secciones no circulares, porque la distribución de tensiones no es radialmente simétrica. Por ejemplo, si compara la constante de torsión y el momento polar de una sección cuadrada sólida, encontrará que las "constantes" en las dos fórmulas son diferentes. Cuanto más se desvía la sección transversal de un círculo, mayor será la diferencia.

La constante de torsión para una sección de forma compleja (por ejemplo, una viga en I) es difícil de calcular porque la distribución de tensiones sobre la sección es complicada y no hay una "fórmula" simple para que pueda integrarse matemáticamente. Muchas de las fórmulas para la torsión en los manuales de ingeniería se basan en suposiciones simplificadas en lugar de soluciones matemáticas "exactas".

Pero en la vida real, los "errores" no son demasiado importantes, porque cuando se aplica una carga torsional a una estructura no circular, las secciones transversales se "deforman", es decir , ya no permanecen planas . En la vida real, a menudo se desconoce la cantidad de deformación, porque las restricciones en los extremos del eje lo afectan. Si realmente necesita una estimación precisa de la rigidez torsional de un componente no circular, debe hacer un modelo tridimensional completo del componente en sí y cómo se fija al resto de la estructura. Si crea un modelo con ese nivel de detalle, no tiene mucho sentido reducir la respuesta a un número solo para que pueda llamarlo "la rigidez torsional".

El momento polar de inercia, Ip, es la resistencia de un sólido a ser torsionado. Sin embargo, el momento de inercia de masa rotacional, J, es el momento de inercia de un sólido rotativo. Ver esta web .

Según tengo entendido, J es lo mismo que el momento normal de inercia, pero para objetos rotativos.