¿Cómo invierto un sistema en forma de espacio de estado?

Supongamos que tengo un sistema descrito en forma de espacio de estado. ¿Puedo invertir el sistema (intercambiando los roles de la entrada y la salida y )?$u$$y$

Si comenzamos con:

$$\begin{align} \dot{x} &= A\,x + B\,u \\ y &= C\,x + D\,u \end{align}$$

y es invertible, entonces podemos usar la segunda ecuación para resolver u en términos de x e y :$D$$u$$x$$y$

$$u = D^{-1} (y - C\,x)$$

Luego podemos sustituirlo nuevamente en la descripción original del espacio de estados para obtener el sistema inverso:

$$\begin{align} \dot{x} &= (A - B\,D^{-1}\,C)\,x + B\,D^{-1}\,y \\ u &= -D^{-1}\,C\,x + D^{-1}\,y \end{align}$$

Sin embargo, en los sistemas típicos es cero. ¿Cuál es el significado de requerir que D sea ​​invertible para invertir el sistema? ¿Existe una solución alternativa que nos permita invertir sistemas donde D = 0 ?$D$$D$$D=0$

$D$$D$

$E$

$$\begin{align} E\,\dot{x} &= A\,x + B\,u \\ y &= C\,x + D\,u \end{align}$$

$E$$D$$E$

$x(t)$$\dot{x}(t)$$u=B^{-1}\left(\dot{x}-A x\right)$