Principio del trabajo virtual contra el (segundo) teorema de Castigliano

Eché un vistazo en línea y en un poco de literatura, sin embargo, no pareció encontrar una buena comparación para los dos métodos diferentes. Ambos se utilizan para determinar desplazamientos y pendientes (rotación por theta) en un punto en un continuo. El primero usa una fuerza de unidad virtual que es igual a la energía de deformación en el elemento (cuando se multiplica por el desplazamiento de interés) y el segundo usa diferencial con respecto a una fuerza virtual que tiende a cero.

¿Cuál es más eficiente y cuál es más preciso? ¿Por qué elegiría el trabajo virtual sobre el de Castigliano o viceversa?

Respuesta corta: Castigliano ofrece soluciones rápidas y exactas en algunos puntos clave en una estructura compleja grande, mientras que el trabajo virtual ofrece modelos aproximados utilizables para sistemas complejos que de otra forma serían imposibles de resolver.

El teorema de Castigliano y el trabajo virtual son dos caras de la misma moneda matemática. Los métodos de Castigliano son anteriores al trabajo virtual, pero comienzan los principios fundamentales del trabajo virtual. Forma la mitad más simple del trabajo virtual, donde los desplazamientos podrían resolverse mediante análisis lineal, pero utilizamos el trabajo virtual para obtener la respuesta más rápido. El trabajo virtual se describe para la segunda mitad, donde no pudimos resolver los desplazamientos con análisis lineal (sin resolver ecuaciones diferenciales y arrojar un montón de coeficientes), y en su lugar confiamos en el trabajo virtual para encontrar una buena respuesta aproximada que se ajuste a muchos de Las condiciones de contorno.

Como se indicó anteriormente, en la mayoría de las aplicaciones de lo que los ingenieros usan para el método de Castigliano, el principio principal es usar lo que se conoce de la teoría lineal de vigas elásticas o truss (se puede usar en múltiples aspectos para estas estructuras) y resolver rápidamente una estructura sometido a fuerzas altamente inusuales. Se escribe una ecuación para las fuerzas en términos de muchas fuerzas desconocidas de la estructura estáticamente determinada, y luego se eliminan las fuerzas desconocidas. Se aplica una de las fuerzas desconocidas (o inusuales, pero conocidas), y los modelos lineales y las tablasusado para fuerzas individuales puede decirnos rápidamente el desplazamiento real en varios puntos de la estructura. La fuerza única puede resultar en 500 newtons de fuerza en un punto de reacción por newton de fuerza original, o 5 newtons. Esto está grabado. La fuerza desconocida se elimina y se agrega una nueva fuerza y ​​se prueba. Una vez que se encuentran todas estas reacciones y fuerzas, el método de Castigliano puede resolver cuál sería la desviación final para todo el estado de carga, que puede no encontrarse en una tabla de estados de carga resueltos. Esto es especialmente útil en el caso de que haya soportes elásticos, soportes que se desvían en función de la fuerza que aplican, lo que sucede en cualquier sistema real. El único límite en este enfoque es qué tan detalladas son las tablas y el principio de superposición. Mientras el sistema pueda ser tratado usando superposición,

El principio del trabajo virtual se extiende más allá de este principio: la idea es simplemente escribir una ecuación para los desplazamientos con coeficientes desconocidos. Podría ser la solución para el DE gobernante, o podría ser completamente inexacto, pero debe ser capaz de resolver todas las condiciones límite (en el punto A, el desplazamiento es 0, etc.). Para las vigas, tomar la segunda derivada de la ecuación de desplazamiento da como resultado la ecuación de momento, tomando los terceros resultados en la ecuación de corte. Para placas y otros continuos, el desplazamiento es la tensión multiplicada por la longitud. Cualquier término de estrés se puede escribir como tensor de rigidezveces la tensión, por lo que todo el trabajo virtual se puede expresar simplemente en términos de nuestra ecuación de desplazamiento desconocida, en principio. Por lo tanto, el trabajo es simplemente resolver esos coeficientes desconocidos de modo que minimicen el trabajo virtual (tanto en energía potencial para sistemas estáticos, como en la suma de energía potencial y energía cinética para sistemas dinámicos).

Un ejemplo de esto se da frecuentemente con las ecuaciones utilizadas para el análisis de elementos finitos, donde en lugar de las ecuaciones de desplazamiento normalmente cuárticas, se utiliza una ecuación cúbica para el desplazamiento. Esto se debe a que tenemos como máximo dos grados de libertad para las rotaciones y dos grados de libertad para los desplazamientos, por lo que lo máximo que podemos tener son cuatro coeficientes desconocidos: una ecuación cúbica. Tenga en cuenta que esto significa que un FEA necesita dividir una carga distribuida en cargas puntuales que permitan que la ecuación cúbica tenga las mismas desviaciones que el cuarto cúbico original. Esto es lo que hace que los elementos individuales no muestren las mismas desviaciones de rango medio que el cuarto original:

Incluso sin superposición, el principio del trabajo virtual todavía se aplica, siempre que su tensor de rigidez tenga en cuenta el cambio en el estrés con respecto a la tensión. Esto puede tomar una ecuación de estrés desconocida independiente , para usar en lugar del tensor de rigidez. Los ingenieros utilizan variaciones de este tipo en muchos campos y necesitan hacer modelos matemáticos de sus sistemas, que constituyen la base de prácticamente todos los métodos de elementos finitos. En resumen, Castigliano ofrece soluciones rápidas y exactas en algunos puntos clave en una estructura compleja grande, mientras que el trabajo virtual ofrece modelos aproximados utilizables para sistemas complejos que de otro modo serían imposibles de resolver.