¿Cómo se aplica la teoría de control a mi convertidor de impulso controlado por procesador del mundo real?

Tengo una comprensión limitada de la teoría del control. Me ocupé de los polos y ceros y las funciones de transferencia en la escuela. He implementado varios esquemas de control basados ​​en microprocesador para convertidores DC / DC. Cómo estas dos cosas se relacionan entre sí, todavía tengo que entenderlo, y me gustaría hacerlo. Basar los diseños en prueba y error puede funcionar, pero prefiero tener una comprensión más profunda de lo que estoy haciendo y cuáles son las consecuencias.

Las respuestas deberían centrarse en cómo analizar el sistema, no en cómo mejorarlo . Dicho esto, si tiene sugerencias para mejorar el sistema y desea dar una razón analítica, ¡sería fantástico! Siempre y cuando la mejora sea secundaria al análisis.

Mi sistema de ejemplo para los propósitos de esta pregunta:

• C1: 1000uF
• C2: 500uF
• L1: 500 uH
• Frecuencia de conmutación: 4 kHz
• R1: variable
• Voltaje de entrada: 400 voltios.
• Voltaje de salida objetivo: 500 voltios
• Límite de corriente de salida: 20 amperios

Estoy tratando de regular el voltaje de salida, sin exceder un límite de corriente de salida. Tengo detección de voltaje y corriente, que pasan por varias etapas de amplificación que no estoy analizando en este momento, pero que incluyen algunos filtros. Esto es seguido por un filtro RC de paso bajo de 100 ohmios y 1000 pF directamente en el convertidor A / D. Las muestras A / D a 12 kHz. Este valor pasa por un filtro de promedio móvil IIR de un polo de las últimas 64 muestras.

Después de eso, tengo dos PI Loops. Primero, el lazo de voltaje. El siguiente es un seudocódigo, con valores escalados para ser voltios, mA y nanosegundos. Suponga que la verificación de límites se implementa correctamente en otro lugar. La estructura de estos bucles define P en términos de la caída máxima permitida si no hay un término integral, y luego define el término integral de modo que un integrador máximo pueda compensar exactamente esa caída. Las constantes INTEGRAL_SPEED determinan qué tan rápido se ponen en marcha los integradores. (Esto me parece una forma razonable de asegurarse de que P y yo ganemos siempre un equilibrio adecuado independientemente de cómo establezca mis constantes, pero estoy abierto a otras sugerencias).

#DEFINE VOLTAGE_DROOP 25
#DEFINE VOLTAGE_SETPOINT 500
#DEFINE MAX_CURRENT_SETPOINT 20000

voltage_error = VOLTAGE_SETPOINT - VOLTAGE_FEEDBACK
current_setpoint = MAX_CURRENT_SETPOINT * voltage_error/VOLTAGE_DROOP

#define VOLTAGE_INTEGRAL_SPEED 4
voltage_integral += voltage_error/VOLTAGE_INTEGRAL_SPEED
//insert bounds check here
current_setpoint += VOLTAGE_DROOP * voltage_integral/MAX_VOLTAGE_INTEGRAL

#DEFINE CURRENT_DROOP 1000
#DEFINE MAX_ON_TIME 50000

current_error = current_setpoint - current_feedback
pwm_on_time = MAX_ON_TIME * current_error/CURRENT_DROOP

#define CURRENT_INTEGRAL_SPEED 4
current_integral += current_error/CURRENT_INTEGRAL_SPEED
//insert bounds check here
pwm_on_time += CURRENT_DROOP * current_integral/MAX_CURRENT_INTEGRAL

Así que tengo un convertidor elevador con dos condensadores, un estrangulador, una carga variable (que podría ser una función escalonada), retroalimentación con filtros RC unipolares, un convertidor A / D, filtros digitales IIR unipolares y dos bucles PI alimentándose unos a otros. ¿Cómo se analiza tal cosa desde una perspectiva de teoría de control (polos, ceros, funciones de transferencia, etc.), particularmente para seleccionar mis parámetros de bucle de control correctamente?

La mayor parte de lo que se cubre en el estudio de controles básicos son sistemas lineales invariantes en el tiempo. Si tiene suerte, también puede obtener un muestreo discreto y las transformaciones z al final. Por supuesto, las fuentes de alimentación de modo de conmutación (SMPS) son sistemas que evolucionan a través de estados topológicos de manera discontinua en el tiempo, y también tienen respuestas no lineales. Como resultado, las SMPS no son bien analizadas por la teoría de control lineal estándar o básico.

De alguna manera, para continuar usando todas las herramientas familiares y bien entendidas de la teoría del control; como los gráficos de Bode, los gráficos de Nichols, etc., se debe hacer algo con respecto a la invariancia temporal y la no linealidad. Eche un vistazo a cómo evoluciona el estado SMPS con el tiempo. Estos son los estados topológicos para Boost SMPS:

Cada una de estas topologías separadas es fácil de analizar por sí misma como un sistema invariable en el tiempo. Pero, cada uno de los análisis tomados por separado no es de mucha utilidad. ¿Qué hacer?

Mientras que los estados topológicos cambian abruptamente de uno a otro, hay cantidades o variables que son continuas a través del límite de conmutación. Por lo general, se denominan variables de estado. Los ejemplos más comunes son la corriente del inductor y el voltaje del condensador. ¿Por qué no escribir ecuaciones basadas en las variables de estado para cada estado topológico y tomar algún tipo de promedio de las ecuaciones de estado mediante la combinación como una suma ponderada para obtener un modelo invariante en el tiempo? Esta no es exactamente una idea nueva.

Promedio del espacio de estado: promedio del estado desde afuera hacia adentro

En los años 70, Middlebrook 1 en Caltech publicó el documento seminal sobre el promedio del espacio de estado para SMPS. El documento detalla la combinación y el promedio de los estados topológicos para modelar la respuesta de baja frecuencia. El modelo de Middlebrook promedió estados a lo largo del tiempo, que para el control PWM de frecuencia fija se reduce a la ponderación del ciclo de trabajo (CC). Comencemos con lo básico, usando el circuito de refuerzo que funciona en modo de conducción continua (CCM) como ejemplo. En el estado de servicio, el ciclo del interruptor activo relaciona el voltaje de salida con el voltaje de entrada como:

$V_o$$\frac{V_{\text{in}}}{1-\text{DC}}$

Las ecuaciones para cada uno de los dos estados y sus combinaciones promedio son:

$\begin {array} {cccc} &\text {Active State} &\text {Passive State} &\text {Ave State} \\ \text {State Var $\backslash $ Weight} &\text {DC} &\text {(1 - DC)} & \\ \frac {\text {di} _L} {\text {dt}} &\frac {V_ {\text {in}}} {L} &\frac {-V_C + V_ {\text {in}}} {L} &\frac {(-1 + \text {DC}) V_C + V_ {\text {in}}} {L} \\ \frac {\text {dV} _C} {\text {dt}} & - \frac {V_C} {C R} &\frac {i_L} {C} - \frac {V_C} {C R} &\frac {(R - \text {DC} R) i_L - V_C} {C R} \end {array}$

Ok, eso se encarga de promediar los estados, lo que resulta en un modelo invariable en el tiempo. Ahora, para un modelo útil linealizado (ac), se debe agregar un término de perturbación al parámetro de control DC y a cada variable de estado. Eso dará como resultado un término de estado estacionario sumado con un término twiddle.

$\text{DC}\rightarrow \text{DC}_o + d_{\text{ac}}$
$i_L\rightarrow I_{\text{Lo}} + i_L$
$V_c\rightarrow V_{\text{co}} + v_c$
$V_{\text{in}}\rightarrow V_{\text{ino}} + v_{\text{in}}$

Sustituirlos en las ecuaciones promediadas. Como se trata de un modelo de CA lineal, solo desea los productos variables de primer orden, por lo tanto, descarte cualquier producto de dos términos de estado estacionario o dos términos de dos líneas.

$\frac{d v_c}{\text{dt}}$$\frac{\left(1-\text{DC}_o\right) i_L-I_{\text{Lo}} d_{\text{ac}}}{C} -\frac{v_c}{C R}$
$\frac{d i_L}{\text{dt}}$$\frac{d_{\text{ac}} V_{\text{co}}+v_c \left(\text{DC}_o-1\right)+v_{\text{in}}}{L}$

$\frac{d}{\text{dt}}$$\text{j$\omega $}$$v_c$$d_{\text{ac}}$

$\frac{v_c}{d_{\text{ac}}}$$\frac{-V_{\text{co}} \text{DC}_o+V_{\text{co}}-L I_{\text{Lo}} s}{C L s^2+\text{DC}_o^2-2 \text{DC}_o+\frac{L s}{R}+1}$

$f_{\text{rhpz}}$$f_{\text{cp}}$

$f_ {\text {rhpz}}$$\frac{V_{\text{co}} \left(1-\text{DC}_o\right){}^2}{2 \pi L i_o}$

$f_{\text{cp}}$$\frac{1-\text{DC}_o}{2 \pi \sqrt{L C}}$

$f_ {\text {rhpz}}$$f_{\text{cp}}$

Las gráficas de ganancia y fase muestran los polos complejos y el semiplano derecho cero. La Q de los polos es tan alta porque la ESR de L1 y C2 no se ha incluido. Agregar elementos de modelo adicionales ahora requeriría volver atrás y agregarlos a las ecuaciones diferenciales iniciales.

Podría parar aquí. Si lo hiciera, tendría el conocimiento de un tecnólogo de vanguardia ... de 1973. La guerra de Vietnam habría terminado y podría dejar de sudar ese ridículo número de lotería de servicio selectivo que tenía. Por otro lado, las camisas de nylon brillante y la discoteca estarían calientes. Mejor sigue moviéndote.

Modelo de interruptor promediado PWM - Promedio de estado de adentro hacia afuera

A finales de los años 80, Vorperian (un ex alumno de Middlebrook) tenía una gran idea sobre el promedio estatal. Se dio cuenta de que lo que realmente cambia durante un ciclo es la condición del interruptor. Resulta que la dinámica del convertidor de modelado es mucho más flexible y simple al promediar el interruptor que al promediar los estados del circuito.

Después de Vorperian 2 , elaboramos un modelo de conmutador PWM promediado para el impulso CCM. Comenzando desde el punto de vista de un par de conmutadores canónicos (conmutador activo y pasivo juntos) con nodos de entrada-salida para el conmutador activo (a), el conmutador pasivo (p) y el común de los dos (c). Si vuelve a consultar la figura de los 3 estados del regulador de refuerzo en el modelo de espacio de estado, verá un cuadro alrededor de los interruptores que muestra esa conexión del modelo promedio PWM.

$V_{\text{ap}}$$V_{\text{cp}}$$i_a$$i_c$

$V_{\text{ap}}$$\frac{V_{\text{cp}}}{\text{DC}}$

y

$i_a$$i_c$

Luego agrega la perturbación

$\text{DC}\rightarrow \text{DC}_o + d_{\text{ac}}$
$i_a\rightarrow I_a + i_a$
$i_c\rightarrow I_c + i_c$
$V_{\text{ap}}\rightarrow V_{\text{ap}} + v_{\text{ap}}$
$V_{\text{cp}}\rightarrow V_{\text{cp}} + v_{\text{cp}}$

entonces,

$v_{\text{ap}}$$\frac{v_{\text{cp}}}{\text{DC}_o}$$\frac{d_{\text{ac}} V_{\text{ap}}}{\text{DC}_o}$

y,

$i_a$$i_c \text{DC}_o + i_c d_{\text{ac}}$

Estas ecuaciones se pueden enrollar en un circuito equivalente adecuado para usar con SPICE. Los términos con el CC de estado estable combinado con pequeños voltajes o corrientes de CA de señal son funcionalmente equivalentes a un transformador ideal. Los otros términos se pueden modelar como fuentes dependientes escaladas. Aquí hay un modelo de CA del regulador de refuerzo con un interruptor PWM promediado:

Los gráficos de Bode del modelo de conmutador PWM se parecen mucho al modelo de espacio de estado, pero no son exactamente lo mismo. La diferencia se debe a la adición de ESR para L1 (0.01Ohms) y C2 (0.13Ohms). Eso significa una pérdida de aproximadamente 10W en L1 y una ondulación de salida de aproximadamente 5Vpp. Entonces, la Q del par de polos complejos es más baja, y el rhpz es difícil de ver ya que su respuesta de fase está cubierta por el ESR cero de C2.

El modelo de interruptor PWM es un concepto intuitivo muy poderoso:

• El interruptor PWM, derivado de Vorperian, es canónico. Eso significa que el modelo que se muestra aquí se puede usar con topologías boost, buck o boost-buck siempre que sean CCM. Solo tiene que cambiar las conexiones para que coincidan con p con interruptor pasivo, a con interruptor activo yc con la conexión entre los dos. Si desea DCM, necesitará un modelo diferente ... y es más complicado que el modelo CCM ... no puede tenerlo todo.

• Si necesita agregar algo al circuito como ESR, no es necesario volver a las ecuaciones de entrada y comenzar de nuevo.

• Es fácil de usar con SPICE.

• Los modelos de interruptor PWM están ampliamente cubiertos. Hay una redacción accesible en "Comprender las etapas de potencia de refuerzo en las fuentes de alimentación de modo de conmutación " por Everett Rogers (SLVA061).

$f_s$$T_s$$T_s$

Ahora estás en la década de 1990. Los teléfonos celulares pesan menos de una libra, hay una PC en cada escritorio, SPICE es tan omnipresente que es un verbo, y los virus informáticos son una cosa. El futuro comienza aquí.

1 GW Wester y RD Middlebrook, "Caracterización de baja frecuencia de convertidores de CC - CC conmutados", IEEE Transactions an Aerospace and Electronic Systems, vol. AES - 9, pp. 376-385, mayo de 1973.

2 V. Vorperian, "Análisis simplificado de convertidores PWM utilizando el modelo del conmutador PWM: partes I y II," Transacciones IEEE en sistemas aeroespaciales y electrónicos, vol. AES - 26, pp. 490 - 505, mayo de 1990.

Una gran simplificación de la teoría del control:

Básicamente, debes comenzar con un modelo. Es bastante fácil modelar el convertidor físico que está analizando. Existen modelos matemáticos que replican el comportamiento eléctrico del convertidor elevador con un alto grado de precisión.

Lo que se vuelve complicado es modelar su sistema de control. Una herramienta que viene a la mente es PSIM , que le permite modelar muchos parámetros digitales como bloques discretos (cuantización, conversión A / D, filtro IIR, retrasos, etc.): esto le brinda un entorno fácil para jugar sin arriesgar hardware .

El siguiente paso es analizar la 'planta' desde el control hasta la salida, para comprender exactamente qué está tratando de compensar. Esto generalmente se hace en bucle abierto, estableciendo un punto de operación de CC (sin retroalimentación), inyectando perturbaciones en un rango de frecuencias y midiendo las respuestas.

Una vez que obtenga su respuesta de bucle abierto, puede diseñar un compensador que asegure márgenes operativos suficientes para la estabilidad (margen de fase suficiente en el cruce de ganancia cero, atenuación suficiente a 180 grados de fase). Luego, implementa su controlador en forma de bloque (o pseudocódigo) en la simulación y prueba la respuesta de bucle cerrado.

Usar una herramienta de simulación sería útil, pero lo básico del circuito es que está transfiriendo energía 4.000 veces por segundo y la potencia a la carga es esa transferencia de energía multiplicada por el número de veces por segundo que se transfiere energía.

$\frac{L I^2}{2}$$\sqrt{\frac{2}{500 \times 10^{-6}}}$

Cuando el IGBT se abre en circuito, esa energía se libera a través del diodo S1 en el circuito de carga.

$E = L \frac{di}{dt}$

$\frac{500 \times 10^{-6}\times 63}{400}=79\mu s$

Si la resistencia de carga fuera más pequeña, debe transferir más potencia y la corriente máxima en el inductor sería mayor, y esto, por supuesto, significa un período más largo durante el cual el IGBT permanece encendido.

$\mu s$$\mu s$$\frac{dq}{dt} = C \frac{dv}{dt}$

$\frac{dq}{dt} =$$\frac{dv}{dt} =$