¿Por qué usamos

En el análisis de CA, cuando tratamos con s L o 1 / s C . Pero para una transformación de Laplace, s = σ + j ω .$s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

Perdón por ser ambiguo, pero me gustaría conectar las siguientes preguntas:

• ¿Por qué es sigma igual a cero?
• ¿La frecuencia neper está conectada a esto?
• ¿Sigma es igual a cero ya que la señal de entrada es una sinusoide de constante ?$\pm V_{max}$

Por supuesto, , por definición. Lo que sucede es que se ignora σ porque se supone que es cero. La razón de esto es que estamos viendo la respuesta del sistema a las señales sinusoidales periódicas (y, por lo tanto, no se descomponen), por lo que Laplace se reduce convenientemente a Fourier a lo largo del eje imaginario. El eje real en el dominio de Laplace representa factores de decadencia / crecimiento exponenciales que las señales puras no tienen y que Fourier no modela.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Para el análisis de CA, se supone que el circuito tiene fuentes sinusoidales (con la misma frecuencia angular ) y que todos los transitorios han decaído. Esta condición se conoce como estado estacionario sinusoidal o de estado estacionario AC .$\omega$

Esto permite analizar el circuito en el dominio fasorial .

Usando la fórmula de Euler tenemos:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

$v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

De ello se deduce que, en estas condiciones, podemos analizar el circuito haciendo un seguimiento de los voltajes y corrientes fasoriales y utilizando las siguientes relaciones:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Luego recuperamos la solución del dominio del tiempo a través de la fórmula de Euler.

Ahora, existe una conexión profunda entre el análisis fasorial y el análisis de Laplace, pero es importante tener en cuenta el contexto completo del análisis de CA que es, nuevamente:

$\omega$

(2) todos los transitorios han decaído

$S=j\omega$

$\sigma=0$

Puede encontrar más en esta página de Stanford .

El análisis de la función de transferencia de transformación de Laplace (TF) da la respuesta completa a una señal de entrada sinusoidal de t = 0. La solución generalmente contiene términos transitorios, que decaen a cero exponencialmente, y términos de estado estacionario que permanecen después de que los exponenciales han desaparecido. Cuando tenemos los polos y ceros de un TF, por ejemplo s = -a + jw, la parte '-a' da la respuesta exponencial (e ^ -at), y la parte jw da la respuesta sinusoidal de estado estacionario: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Si solo estamos interesados ​​en la parte de la respuesta en estado estable (como es el caso en el análisis de respuesta de frecuencia), entonces podemos usar la sustitución s = jw en el TF.

Tenga en cuenta que e ^ jx = cos (x) + jsin (x) es 'Identidad de Euler' y es una de las relaciones más importantes y útiles en ciencia e ingeniería.

Esto solo se usa para "Sin" y "Cos", que es el caso de la señal de CA. Nota: La transformación de laplace de sin (at) o cos (at) "1 / jw + a" o "jw / jw + a" que se puede probar usando la identidad del pecado y cos usando la identidad de Euler, que es básicamente solo 2 exponenciales, y la laplace de lo exponencial solo tiene la parte imaginaria "jw".

Escribiré la prueba y la publicaré aquí. :)

Si observa la fórmula de la transformada de Fourier y Laplace, verá que 's' es la transformada de Laplace se reemplaza por 'jw' en la transformada de Fourier. Es por eso que puede obtener la transformación de Fourier de la transformación de Laplace reemplazando 's' con 'jw'.