¿Por qué aumentar la frecuencia de muestreo facilita la implementación de un filtro anti-aliasing?

De una respuesta a una pregunta sobre la frecuencia de muestreo y el filtro anti-aliasing, leí lo siguiente:

Cuanto más se acerque a la frecuencia de muestreo mínima teórica, más difícil será prácticamente realizar el filtro analógico.

Si no me equivoco, dice que si nuestra frecuencia de muestreo es cercana a nuestra frecuencia de muestreo mínima teórica requerida, entonces diseñar el filtro antisolapamiento analógico será más difícil.

Estoy seguro de que tiene sentido para muchos, pero no pude entender qué se entiende aquí y por qué es así. ¿Podría esto explicarse con un ejemplo de una manera más simple?

A medida que disminuye la frecuencia de muestreo, hay menos separación entre las imágenes en el dominio de la frecuencia.

fuente

Recuerde que la repetición del espectro ocurre en la frecuencia de muestreo. Cuando las imágenes están más juntas, debe lograr una mayor atenuación en su filtro de suavizado. El filtro debe pasar de una banda de paso a otra antes de que ocurra la siguiente imagen.

fuente de esta presentación

Para reconstruir una señal en el reino digital del reino analógico, necesita al menos dos muestras en cada ciclo de la frecuencia más alta presente en la señal analógica. Por ejemplo, en los CD, usan 44.1 kHz para muestrear una frecuencia máxima en la banda de audio de 20 kHz. Podrían haber usado 40 kHz, pero eso es justo en el límite y el filtro anti alias sería imposible.

Con una frecuencia de muestreo de 44,1 kHz, la señal de audio teóricamente de frecuencia más alta que podría capturarse digitalmente sin que se produzca un alias sería 22 kHz. Entonces, ¿qué pasaría si se alimentaran 24 kHz al sistema de muestreo digital de 44,1 kHz?

Esto alias en una señal de 20 kHz en el ámbito digital y podría empeorar. ¿Qué pasa si la señal fuera de 30 kHz? Esto se convertiría en 16 kHz en el ámbito digital.

Esto se debe a que el submuestreo crea una salida con alias:

Imagen de aquí .

Para evitar esto, utilice un filtro que proporcione una atenuación adecuada entre 20 kHz y 24 kHz. Digo 24 kHz porque una señal de 24 kHz está justo en el límite de convertirse en una señal de audio real con alias de 20 kHz. Por lo tanto, para aquellas personas con una audición excelente de hasta 20 kHz (ya no soy yo), el filtro anti-alias debe proporcionar una atenuación prácticamente nula a 20 kHz y quizás una atenuación de hasta 80 dB (o más) a 24 kHz.

Es un filtro de orden bastante alto y la mayoría de los ingenieros que trabajan con sistemas como este preferirían una relación de más de 3: 1 para la frecuencia de muestreo a la frecuencia analógica más alta.

Su filtro antialias tiene tres bandas.

1) Banda de paso, desde DC hasta Fwanted
2) Banda de detención, desde Fsample-Fwanted hasta infinito
3) Banda de transición, de Fwanted a Fsample-Fwanted

El costo de un filtro (número de etapas, componente Q, número de multiplicadores) es aproximadamente proporcional al recíproco de la banda de transición y aumenta con la profundidad en dB de la banda de detención.

Cuanto mayor sea Fsample, más ancha será la banda de transición y más barato será el filtro.

$f_s$

$f_s/2$

$f_s/2$$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Entonces el filtro idealmente necesita:

$f < f_s/2$

pero

$f > f_s/2$

Eso es imposible de hacer! Por lo tanto, debe haber un compromiso.

$f_s/2$$f_s/2$

Las cosas se vuelven mucho más fáciles si:

$f_s/2$

o

$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Digamos que su banda de interés es de CC a 100 Hz, y su señal tiene ruido blanco limitado a 10 kHz. Ahora, supongamos que decide muestrear a 2kHz. Puede construir un buen filtro de conteo de bajo polo con una atenuación de 20dB / década y atenuar el ruido para minimizar el aliasing

Ahora, digamos que desea muestrear a 210Hz. Necesita construir un filtro de alto orden para obtener una atenuación suficiente. Dichos filtros son más difíciles y más caros de diseñar y construir. Si logras hacerlo bien, obtienes una señal con una distorsión de fase sustancial en la banda de paso.

Para el filtro analógico, debe considerar el rendimiento del filtro en el rango de la frecuencia más alta de interés. A menudo, esto significa que necesita establecer el "fc" para el filtro analógico un poco más alto que la frecuencia de interés más alta (y / o usar un filtro más nítido).

Para evitar el alias, debe muestrear a una frecuencia que sea al menos el doble que la del componente más alto que pasará por su filtro a un nivel máximo en el que pueda tolerar la contaminación por la señal con alias. Eso significa que la frecuencia de muestreo es al menos dos veces fc y, a menudo, debe ser un poco más alta.

Entonces, ahora, trabajar hacia atrás, una tasa de muestreo más alta, significa que puede tener una fc más alta, y eso significa que puede tener una respuesta plana más fácilmente hasta cierta frecuencia de interés menor que fc.

Pero . Como probablemente sepa, el ruido aumenta con el ancho de banda. Por lo tanto, para una aplicación de bajo ruido, es posible que deba configurar el ancho de banda del filtro de forma conservadora.