¿Cómo analizar este circuito en el dominio del tiempo y la frecuencia?

Encontré este circuito en otra publicación y comencé a mirar el filtro del amplificador operacional y cómo aplicar el análisis de circuito tradicional (usando 1 / jwc para condensadores) y no pude obtener la función de transferencia.

Pregunta: ¿Cómo derivaríamos la función de transferencia para la topología de filtro? Ignore el filtro HP en el terminal V + e ignore los componentes más allá (e incluso) del diodo zener. Use los nombres genéricos, C1, R1, etc.

Supongamos que Vin = V + y queremos encontrar Vo = salida de OpAmp.

Mientras formulaba mi respuesta a esa pregunta, analicé ese circuito con cierto detalle. Parece un filtro de paso de banda estándar de segundo orden, pero se usa en una configuración no inversora. Como un amplificador no inversor no puede tener una ganancia inferior a 1, me intrigó saber cuál debería ser realmente su respuesta.

La forma de la función de transferencia es:

$\dfrac{V_o}{V_{in}} = \dfrac{\mathrm s^2+a\mathrm s+\omega_0^2}{\mathrm s^2+b\mathrm s+\omega_0^2}$

Puede hacer un poco de inspección retirando o acortando mentalmente los condensadores de los cuales es evidente que las ganancias de LF y HF serán 1 como predice la ecuación.

OK, aquí va:

$\omega$

Llamando el voltaje en la unión R18, C5 C1 Vx y sumando las corrientes en ese nodo obtenemos: -

$\dfrac{0-V_x}{R}+\dfrac{V_{in}-V_x}{\dfrac{1}{\mathrm sC}}+\dfrac{V_{out}-V_x}{\dfrac{1}{\mathrm sC}}= 0$

$V_x.(\dfrac{1}{R}+2\mathrm sC)=(V_{in}+V_o).\mathrm sC$

$V_x=\dfrac{(V_{in}+V_o).\mathrm sC}{\dfrac{1}{R}+2\mathrm sC}$

Ahora el voltaje en la entrada inversora de U1 es Vin (si el circuito es estable) y sumando la corriente en este nodo obtenemos: -

$\dfrac{V_x-V_{in}}{\dfrac{1}{\mathrm sC}}+\dfrac{V_o-V_{in}}{kR} = 0$

$V_o=V_{in}.(1+\mathrm skRC)-V_x\mathrm skRC$

Sustituyendo Vx, obtenemos: -

$\dfrac{V_o}{V_{in}}=\dfrac{1+\mathrm skRC-\dfrac{\mathrm s^2kR^2C^2}{1+2\mathrm sRC}}{1+\dfrac{\mathrm s^2kR^2C^2}{1+2\mathrm sRC}}$

$\dfrac{V_o}{V_{in}}=\dfrac{\mathrm s^2+\mathrm s.\dfrac{2+k}{kRC}+\dfrac{1}{kR^2C^2}}{\mathrm s^2+\mathrm s.\dfrac{2}{kRC}+\dfrac{1}{kR^2C^2}}$

(La trama para esto coincide exactamente con el gráfico de Telaclavo).

Ahora podemos ver que la frecuencia natural viene dada por:

$\omega_0 = \dfrac{1}{RC\sqrt k}$$f_0$

$\mathrm s^2+\omega_0^2=0$

$G_{max}=\dfrac{2+k}{2}=201.8$

En cuanto al dominio del tiempo, dado que tenemos una transformación de Laplace, podemos tomar su inversa para obtener la respuesta al impulso. En el estilo tradicional de los libros de texto, simplemente diré que esto se deja como un ejercicio para el estudiante (es decir, demasiado duro :)

Circuito equivalente:

Aplique KCL a los dos nodos donde definí Vx y Vi. Resuelve Vo en esas dos ecuaciones simultáneas. Haga VGND = 0 para la respuesta de CA. Ver detalles aquí .

Resultados: la respuesta de frecuencia de H (s) = Vo (s) / Vi (s) es

El pico es a 14.5 kHz, y allí, la ganancia es 202.