Cuándo se requiere o se permite muestrear por debajo de la tasa de Nyquist

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He buscado preguntas y respuestas anteriores en esta plataforma, pero ninguna responde a esta pregunta. Un profesor dijo que es posible tomar muestras por debajo de la tasa de Nyquist bajo ciertas condiciones. Me gustaría saber, primero, si es posible hacer esto, si es así, ¿cuándo?

Mikky Mikky
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cuando no le interesa reconstruir la forma de onda.
JonRB
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Las respuestas a continuación ofrecen una respuesta a su pregunta; Cuando leí su pregunta, el primer pensamiento que me vino a la mente fue que su instructor se refería al muestreo sub Nyquist de señales dispersas . Hay muchos documentos sobre este tema; véase, por ejemplo, Mishali, Moshe y Yonina C. Eldar. "De la teoría a la práctica: muestreo Sub-Nyquist de señales analógicas de banda ancha dispersas". (También es posible que desee considerar hacer una pregunta separada y más centrada en DSP.SE, si el ángulo escaso es lo que busca).
Mad Jack
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@JonRB, suponiendo que tenga una señal de radio mono FM en una portadora de 100MHz, ¿realmente cree que necesita muestrearla a más de 200MHz?
Vladimir Cravero
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Permitido por quien? Estoy bastante seguro de que puedo probar a cualquier velocidad de mi elección, en la privacidad de mi propia casa.
David Richerby
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@DrunkenCodeMonkey No. El ancho de banda de una señal FM comercial es de 300 kHz, por lo que una frecuencia de muestreo de 600 kHz sería suficiente.
user207421

Respuestas:

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En primer lugar, eliminemos el concepto erróneo de la tasa de Nyquist.

A las personas generalmente se les enseña que la frecuencia mínima de muestreo debe ser el doble de la frecuencia más alta en la señal. ¡Esto es completamente falso!

Lo que es cierto es que si tiene un espectro "completo", y por completo, quiero decir que usa completamente todas las frecuencias entre el borde inferior de su ancho de banda y el borde superior de su ancho de banda, entonces necesita tener la frecuencia de muestreo eso es al menos el doble del ancho de banda de la señal.

Espectro

Entonces, en la imagen aquí, la frecuencia de muestreo debe ser de al menos 2 * (Fh-Fl) para obtener el espectro.

También debe tener en cuenta que, después de realizar el muestreo, toda la información sobre la frecuencia real se pierde en la señal muestreada. Aquí es donde entra en juego toda la historia sobre la frecuencia de Nyquist. Si la frecuencia de muestreo es el doble de la frecuencia más alta de la señal, entonces podemos asumir con seguridad (como a menudo estamos entrenados para hacerlo inconscientemente) que todas las frecuencias en la señal muestreada están entre cero y la mitad de la frecuencia de muestreo.
En realidad, el espectro de la señal muestreada es periódico alrededor de Fs / 2 y podemos usar esa periodicidad para lograr tasas de muestreo más bajas.
Echa un vistazo a la siguiente imagen: Zonas Nyquist
El área entre 0 y Fs / 2 es la llamada primera zona de Nyquist. Esta es el área donde estamos haciendo el muestreo "tradicional". A continuación, observe el área entre Fs / 2 y Fs. Esta es la segunda zona de Nyquist. Si tenemos alguna señal en esta área, se muestreará su espectro y se invertirá, es decir, se invertirán las frecuencias altas y bajas. A continuación, tenemos la tercera zona de Nyquist, entre Fs y 3Fs / 2. Las señales aquí, cuando se muestreen, se verán como si vinieran de la primera zona y su espectro será normal. Lo mismo ocurre con todas las otras zonas, con la regla de que el espectro de zonas impares es normal y el espectro de zonas pares está invertido.

Ahora esto va en contra de las reglas "tradicionales" sobre aliasing, ya que el aliasing generalmente se enseña como un monstruo malvado que viene a comerse sus señales y que tiene que usar los filtros anti-aliasing de paso bajo para deshacerse de él. En la vida real, no es así como funcionan realmente las cosas. Los filtros anti-aliasing no pueden evitar el aliasing, solo lo reducen al nivel en el que ya no importa.
Lo que realmente queremos hacer es eliminar cualquier señal fuerte de las zonas de Nyquist que no sean de interés y dejar pasar las señales de la zona de Nyquist que nos interesan. Si estamos en la primera zona, entonces un filtro de paso bajo está bien, pero para todas las demás zonas, necesitamos un filtro de paso de banda que nos permita obtener las señales útiles de esa zona y eliminar la basura que no usamos No es necesario que provenga de las otras zonas.

Así que echemos un vistazo a este ejemplo:
Zonas Nyquist con señal de paso de banda
aquí tenemos una señal en la tercera zona de Nyquist que está siendo dejada pasar por un filtro de paso de banda. Nuestro ADC solo necesitará tener una frecuencia de muestreo del doble del ancho de banda de la señal para reconstruirla, pero siempre debemos tener en cuenta que esta es realmente una señal de la tercera zona, cuando necesitamos calcular las frecuencias dentro de nuestro señal. Este procedimiento a menudo se llama muestreo de paso de banda o submuestreo.

Ahora, después de toda esta exposición, para responder a su pregunta cuando:
Bueno, echemos un vistazo a la radio, tal vez algo en el espectro de microondas, tal vez WiFi. Un canal WiFi típico de estilo antiguo podría tener 20 MHz de ancho de banda, pero la frecuencia de la portadora sería de alrededor de 2,4 GHz. Entonces, si tomamos nuestro enfoque ingenuo para muestrear la señal directamente, necesitaríamos un ADC de 5 GHz para ver nuestra señal, a pesar de que solo estamos interesados ​​en un espectro particular de 20 MHz. Un convertidor analógico a digital de 5 GHz es algo muy complicado y costoso y también requiere un diseño muy complicado y costoso. Por otro lado, un ADC de 40 MHz es algo que no es tan "mágico" como un ADC de 5 GHz.
Una cosa que debe tenerse en cuenta es que, aunque en teoría podríamos capturar la señal con un ADC de 40 MHz, necesitaríamos filtros anti-aliasing muy nítidos, por lo que en la práctica realmente no queremos ejecutar el muestreo frecuencia demasiado cerca del ancho de banda. Otra cosa que también se pasa por alto es que el circuito de un ADC de la vida real se comporta como un filtro por sí solo. Los efectos de filtrado de un ADC deben tenerse en cuenta al hacer un muestreo de paso de banda. Muy a menudo, hay ADC especiales con anchos de banda mucho más amplios que la frecuencia de muestreo que están diseñados específicamente teniendo en cuenta el muestreo de paso de banda.

Finalmente, está el otro lado de la historia, también llamado detección comprimida. No soy un experto en eso, y es algo que todavía es un poco nuevo, pero la idea básica es que si se cumplen ciertos supuestos (como que el espectro es escaso), podemos muestrear a frecuencias incluso inferiores al doble del ancho de banda de la señal

AndrejaKo
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Heh, garabateo muchos diagramas todo el día cuando explico cosas a la gente. Realmente creo que el dibujo preliminar es el idioma principal del ingeniero :)
Marcus Müller
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Esto me dio recuerdos de analizar los datos de viento del radar Doppler.
casey
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en su escenario de ejemplo, ¿una muestra de "ADC de 20 MHz" a 20 MHz o muestra a 40 MHz? Pero anteriormente, usted afirma que se requiere un "ADC de 5 GHz" para convertir una portadora de 2.4 GHz. Entonces, infiero que un "ADC de 20 MHz" significa 20 Meg de muestra por segundo. Algo no está bien: fs = 2 * BW.
glen_geek
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En los días previos a los alcances digitales, algunas compañías hicieron "alcances de muestreo" que usarían una muestra analógica y se mantendrían con un tiempo de captura corto, de modo que si se supiera que la entrada tenía, por ejemplo, solo contenido entre 10.02MHz y 10.03MHz, se podría muestrear a 10.000Mhz y vea una señal en el rango de 20KHz a 30KHz. Si la frecuencia de muestreo estaba bien calibrada, se podría medir la frecuencia fuera de la pantalla del osciloscopio con mayor precisión de lo que se podría medir dicha frecuencia directamente desde la pantalla.
supercat
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+1; Muy buena respuesta. Solo agregaría una cosa a su discusión al final sobre el muestreo de WiFi usando un ADC de 40 MHz. Si bien esto es posible en principio, en la práctica no querrá intentar muestrear una señal en la zona ~ 120th Nyquist. El submuestreo es una técnica común, pero en los sistemas prácticos generalmente se limita al segundo o tercer muestreo de la zona de Nyquist (y tal vez el cuarto). A medida que la señal aumenta en frecuencia, el efecto nocivo de la fluctuación de fase del reloj ADC empeora proporcionalmente. De todos modos, no podría encontrar un ADC de 40 MSPS con un ancho de banda analógico de 2.4 GHz.
Jason R
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Por lo tanto, muchas personas, incluidos los profesores, están confundidos acerca de cuál es la tasa de Nyquist:

La frecuencia de Nyquist es la frecuencia de muestreo que necesita para muestrear una señal para evitar dañarla aliasing

Lo que eso significa es que para las señales de valor real y el muestreo de valor real, la frecuencia de muestreo debe ser más de dos veces el ancho de banda de la señal analógica.

Eso significa que con una frecuencia de muestreo de 6 kHz, puede obtener una representación del 100% de cualquier banda de 3 kHz de ancho.

Lo hace , no significa que las necesidades de frecuencia de muestreo a ser el doble de la frecuencia más alta de la señal. Si sus 3 kHz, por ejemplo, son la banda entre 9 kHz y 12 kHz, no tiene que muestrear a 2 · 12 kHz = 24 kHz; 6 kHz es totalmente suficiente para representar sin ambigüedad la señal digitalmente. Aún necesitaría saber que sus 3 kHz se centraron alrededor de 10.5 kHz, si luego desea relacionarlo con otras señales, pero por lo general, eso no importa.

Llamamos a esta técnica submuestreo , y funciona de maravilla, y es una técnica 100% estándar con muchas aplicaciones técnicas. Todo lo que necesita estar seguro es que todo lo que ve su ADC (convertidor analógico a digital) está limitado a la mitad de su frecuencia de muestreo, eso significa, en el ejemplo mencionado anteriormente, que debe estar seguro de que no hay señal por debajo de 9 kHz y no señal por encima de 12 kHz.


comentarios avanzados

banda base compleja

Observe que esto es cierto solo para el muestreo con valores reales. Si usó cosas como demoduladores IQ (también conocidos como mezcladores de conversión directa , demoduladores de cuadratura ) para obtener una banda base compleja y equivalente , obtendrá dos flujos de muestras sincrónicas. En ese caso, el factor de 2 desaparece. Este es un aspecto muy importante para la radio definida por software .

estructuras polifásicas

Si está en las últimas partes de un curso de DSP, su profesor podría haber insinuado el hecho de que puede implementar cosas como muestreadores racionales, donde normalmente tendría que aumentar la muestra por un factor de M, luego filtrar para borrar todas las imágenes (el filtro funciona a la velocidad de entrada · M), luego filtre para evitar todos los alias (el filtro funciona a la velocidad de entrada · M) antes de reducir la muestra por N, con un solo filtro que funciona efectivamente a 1 / N de la velocidad de entrada, que en realidad es sub -Muestreo de esquista. Pero ese sería básicamente uno de los aspectos más destacados de una conferencia de sistemas polifásicos / multirrata, y dudo que lo haya publicado en un curso para principiantes, es demasiado confuso.

Marcus Müller
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Nunca. Pero debe asegurarse de comprender exactamente cuál es realmente la "tasa de Nyquist".

Nyquist declaró que puede reconstruir la señal siempre que se muestree a una velocidad que sea más del doble del ancho de banda de la señal. Ese ancho de banda puede o no comenzar en DC, pero muchas fuentes sobre este tema suponen que siempre lo hace, y que el componente de frecuencia más alta de la señal determina la velocidad de Nyquist.

Por ejemplo, si tiene una señal de transmisión AM a 1 MHz que está limitada a ± 10 kHz, la velocidad de Nyquist para ella es 2 × 20 kHz = 40 kHz, no 2 × 1.01 MHz = 2.02 MHz.

Dave Tweed
fuente
@ user287001: Eso es cierto solo si supone que las bandas laterales son idénticas (AM puro). Con los diversos sistemas estéreo AM y / o señales híbridas analógicas / digitales ( IBOC ), etc., eso no es una suposición válida. Y no, el operador no agrega información, así que no sé por qué piensas que "incluirlo" de repente aumenta el ancho de banda tan dramáticamente.
Dave Tweed
BTW muestras a Fs> 2,02 MHz salva el hecho de que la señal fue de alrededor de 1 MHz - sólo tiene que saber, además, que no se produce solapamiento ..
user287001
+1 para "nunca". Sin embargo, la contradicción (confusión masiva) es que el muestreo de Nyquist evalúa (estima) la señal directamente desde DC hasta f / 2. Desde DC . Por lo tanto, si la señal no comienza en CC, se puede convertir hacia abajo y solo entonces se puede reducir la frecuencia de muestreo. Entonces la respuesta sigue siendo "Nunca".
Ale..chenski
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Un profesor dijo que es posible tomar muestras por debajo de la tasa de Nyquist bajo ciertas condiciones.

Si todo lo que le interesa es calcular el valor RMS de una forma de onda, entonces puede muestrear a continuación nyquist:

ingrese la descripción de la imagen aquí

La forma de onda azul también es una onda sinusoidal que tiene el mismo valor RMS que el original. Lo que debe evitar es esto: -

ingrese la descripción de la imagen aquí

Se toman exactamente dos muestras cada ciclo y es imposible saber si la señal con alias era de hecho la forma de onda roja o la forma de onda verde.

Andy alias
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FmuestraFseñal
@marcus ¡Creo que cubrí esa anomalía!
Andy, alias
¿Su valor RMS no dependería de la fase en la que ocurre su muestreo? es decir, si tiene mala suerte, puede terminar "mirando" solo cruces por cero o picos.
Marcus Müller
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@ MarcusMüller: Más concretamente, la parte de una señal a una frecuencia dada será indistinguible de la de cualquier otra frecuencia que se desplace hacia arriba o hacia abajo por un múltiplo entero de la frecuencia de muestreo. Si se está muestreando a 100Hz, aparecerá una señal de 60Hz como una señal de 40Hz. Si una señal de 40 Hz estaría bien, genial. Pero una señal a 99, 101, 199, 201, etc. Hz aparecería como una señal de 1Hz, y una señal a 99.99Hz aparecería como una señal de 0.01Hz.
supercat
El muestreo y la frecuencia base tienen que ser diferentes y no en una división entera. No digo que sea necesariamente sencillo o incluso deseable, solo estoy señalando que es posible. La segunda imagen en mi respuesta alude al posible inconveniente.
Andy alias
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El criterio nyquist le indica con qué frecuencia necesita muestrear para reconstruir una señal que tiene una banda limitada. Sin embargo, no hay señales físicas limitadas en la banda, esto es solo una idealización. Otros esquemas funcionarán para muestrear otras señales idealizadas. Al proporcionarle información a priori sobre una señal (que tiene una banda limitada), Nyquist le dice cómo reconstruir la señal completa a partir de unas pocas muestras. Si le doy información a priori diferente, puede hacerlo mejor que nyquist. Aquí hay un ejemplo: mis señales idealizadas son lineales por piezas. Uno solo necesita muestrear estas señales en sus puntos de inflexión: muchas menos muestras de las que necesita para señales de banda limitada. Para reconstruir toda la señal, dibuje líneas rectas entre los puntos de muestra. Puede llamar a esto el criterio "Linequist". :)

Linequist
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Se puede muestrear una señal periódica utilizando una frecuencia de muestreo sub-Nyquist. Esto está bien explotado en los osciloscopios. Allí se guarda una muestra para cada repetición de señal, pero en una posición diferente del período. ¿Necesita 512 muestras? entonces se necesitan 512 periones completos de la señal.

La exactitud:

Es fácil ver que una onda sinusoidal estacionaria se puede capturar de esta manera. Pero esas 512 muestras deben cubrir la señal. Eso es cierto si los armónicos 256 y superiores pueden considerarse como ceros.

TTJ
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Esto a veces se hace intencionalmente, por ejemplo, en un osciloscopio de muestreo (no es lo mismo que un DSO, aunque algunos DSO también son de muestreo, pero un osciloscopio de muestreo puede ser un dispositivo completamente analógico y se han construido desde la década de 1950), para tratar con periódicos señales que son demasiado altas en frecuencia para ser económicas para amplificar o tratar con circuitos lineales; no existen muchos CRT de osciloscopio (ed) que puedan manejar una señal de 1 GHz sin procesar (¡algunos existen!), sin embargo, 1 GHz fue fácil de manejar con submuestreo incluso con tecnología de la década de 1960. Al final, todo el sistema se comporta de manera similar (no idéntica) a un receptor heterodino. Si bien no hay LO de alta frecuencia de onda continua, todavía hay un componente de muy alta frecuencia oculto (y utilizado) en el reloj de muestreo utilizado:

Obviamente, una señal no periódica no puede examinarse de esa manera, y una señal con componentes de frecuencia mucho más baja puede ser mal representada y / o malinterpretada.

rackandboneman
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Creo que lo que dijo [rackandboneman] es consistente con la intención del profesor. La 'cierta condición' sería que la señal original debería ser periódica.

Aquí hay un código para mostrar cómo reconstruir la señal original de la señal submuestreada. La señal original necesita un período de muestreo de 1/100 para reconstruir su patrón único (aunque su frecuencia fundamental es 8/100). Al muestrear con un período de muestreo de 1.5 / 100 segundos, el patrón de la señal original se reconstruye casi perfectamente con un período de muestreo de reconstrucción de 0.5 / 100. (En breve, el período de muestreo de 0.5 / 100 se realiza a partir del período de muestreo de 1.5 / 100).

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

ingrese la descripción de la imagen aquí

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

ingrese la descripción de la imagen aquí

Gaster
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Esto podría hacerse mucho más claro. ¿Qué técnica estás usando para reconstruir? ¿De dónde vienen los números mágicos en "z (mod ((0:31) * 11,16) +1)"? Además, el PERÍODO fundamental es 8/100, no la frecuencia, pero lo que importa para Nyquist es la frecuencia MÁS ALTA presente.
Selvek
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Si se muestrea una señal a la velocidad S, cualquier contenido con frecuencia f será indistinguible de cualquier otro contenido con frecuencia NS + f o NS-f para algún número entero N.

Si una frecuencia de muestreo dada es adecuada dependerá de si existen dos frecuencias cuyo contenido necesitaría distinguirse, pero no puede.

Si a uno solo le preocupan, por ejemplo, las señales en el rango de 700-800Hz, la entrada estará desprovista de contenido por debajo de 300Hz o por encima de 1200, y la presencia de otras señales no causará recorte, una frecuencia de muestreo de 1000Hz sería adecuada sin ningún previo filtrado, a pesar de la presencia de contenido cuyo ancho de banda total es de 900Hz. El contenido en el rango de 300Hz-700Hz sería indistinguible del contenido en el rango de 800Hz-1200Hz, pero si a uno no le importa ese contenido, eso no importaría.

Super gato
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