Pregunta teórica sobre la unidad imaginaria "j" (análisis de circuito de CA)

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Acabo de comenzar a aprender sobre el análisis de red de CA y tengo algunas preguntas sobre "j" (o "i" en mi calculadora), la unidad imaginaria. Mi libro no entra mucho en esto, y salta directamente a fórmulas y sustituciones (enfoque más práctico, no teórico). Entonces, ¿qué representa exactamente J?

Veo que si dibujo un plano complejo (el eje y es imaginario, el eje x es real) y dibujo un círculo unitario en él, un ángulo de 90 ° es , que es "j". Veo que puedo usar esta sustitución en forma de fasor cuando, por ejemplo, resolviendo el voltaje a través de un condensador cuando se conoce la corriente a través de él:-1

V=yojωC

¿Puede alguien ayudarme a entender esto?

Para ser sincero, esta pregunta es bastante vaga porque ni siquiera estoy seguro de cómo preguntar qué es J; Es tan extraño para mí. Me gustaría una explicación de sentido común (panorama general) de su significado y propósito en el análisis de circuitos de CA. No busco necesariamente una explicación matemática rigurosa (aunque cualquier explicación matemática necesaria es bienvenida).

asdf
fuente
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El álgebra distingue entre mayúsculas y minúsculas. J y J son cosas diferentes.
TRiG
1
Es posible que desee ver las preguntas bajo la complex-numbersetiqueta en math.SE: math.stackexchange.com/questions/tagged/...
El Fotón
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Por supuesto, lo que encuentre en matemáticas. SE dejará abierta la pregunta realmente interesante: ¿Por qué los números complejos son útiles en ingeniería?
The Photon
@The Photon: La respuesta está en Wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/Phasor Puedo resumirlo aquí, pero dada la dinámica de la votación en los sitios de SE, sería "balas desperdiciadas".
Fizz
@RespawnedFluff, ¿Estás respondiendo a lo que querías responder?
The Photon

Respuestas:

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Si coloca un signo menos delante del número "5" se convierte en "-5".

Intenta ver esto de manera diferente. Trate de pensar que gira el número "5" (atado al origen por un trozo de cuerda de longitud 5) 180 grados para convertirse en "-5"

Ok hasta ahora? Los signos negativos son lo mismo que rotar 180 grados ...

¿Por qué no extender esto más para producir algo que pueda "pegar" delante de un número positivo que lo gire 90 grados? en sentido contrario al reloj, es decir, si lo hiciera dos veces (j * j) obtendría 180 grados ("-").

De esta gema de conocimiento, por lo tanto, puede decir j * j = -1, por lo tanto, j = -1

Así como un signo menos puede rotar cualquier valor positivo hasta 180 grados, puede rotar cualquier vector o fasor hasta 180 grados. Lo mismo se aplica al operador j: gira cualquier vector o fasor hasta 90 grados en sentido antihorario.

EDITAR - olvidé parte de la pregunta: -

sustituyendo j en la impedancia de un condensador. Recuerde que la fórmula básica para un condensador es Q = CV y, por lo tanto, diferencia las variables que obtenemos: -

yo=reQret=CreVret

Esto nos dice que para un voltaje aplicado de onda sinusoidal a través de un condensador, la corriente también será una onda sinusoidal pero se diferenciará en un coseno como este:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Si trataste de calcular la impedancia (V / I) de un condensador a partir de la relación VI te meterías en problemas porque cuando paso por cero, V NO es cero, por lo que obtienes infinitos. Si, por otro lado, aplica una "j" para poner la corriente en fase con el voltaje, las matemáticas funcionan bien: la corriente y el voltaje están alineados y la impedancia basada en valores instantáneos de V / I tiene sentido.

Soy consciente de que recién estás comenzando, así que he tratado de mantener esto preciso y simple (¿tal vez demasiado simple para algunos?).

Si observa el inductor, la "j" se puede aplicar al voltaje para alinearlo con la corriente, por lo tanto, "j" está en el numerador para la reactancia inductiva y j está en el denominador para la reactancia capacitiva. Hay sutilezas por aquí que, con suerte, tendrán sentido a medida que aprenda más; en realidad, no es coincidencia que "j" parezca "seguir" a omega cuando se trata de impedancias. ¡Mi explicación no cubre eso y su pregunta tampoco!

Andy alias
fuente
Su respuesta me pareció muy útil, especialmente con su mención de usar j para poner las formas de onda en fase; Esto me ayudó a entender su uso porque recuerdo que el voltaje conduce la corriente en 90 * para la inductancia pura, y viceversa para la tapa pura. ¡Gracias!
asdf
@Andy aka, ¿la 'j' tiene algún otro propósito además de permitir la división entre V y I cuando soy cero?
noorav
@noorav sirve para otros propósitos, como resolver funciones de transferencia en filtros y sistemas de control. En mi ejemplo anterior, solo lo estaba usando para cambiar una forma de onda de voltaje para alinearla con una forma de onda de corriente. Es posible que conozca el campo de los números complejos .
Andy, también conocido como
10

yo-1

-1-yo

Si imagina una recta numérica con números reales colocados horizontalmente. Ahora podemos agregar una segunda recta numérica que va verticalmente y que contiene los números imaginarios.

4 4+3yo

Debido a que un punto en el espacio bidimensional ahora se puede representar como un número único, los cálculos que involucran vectores bidimensionales se simplifican.

En electrónica, cuando consideramos sistemas suministrados por una onda sinusoidal de frecuencia única, inicialmente se nos enseña a dibujar diagramas fasoriales. Luego, más tarde, para usar números complejos para tratar estos problemas.

jyoyo

Si desea un poco más de información, eche un vistazo a esta pregunta: ¿Qué son los números imaginarios? del sitio de intercambio de pila de matemáticas .

O eche un vistazo aquí: una guía visual e intuitiva de números imaginarios .

Warren Hill
fuente
¡Gracias por su ayuda y referencias a algunas lecturas adicionales!
asdf
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En matemáticas, alguien hizo la pregunta:

¿Cuál es la solución para x ^ 2 = -1?

Inventaron un número y dijeron que lo llamemos "j".

Resolvieron las consecuencias de hacer esto. Descubrieron que no conducía a ninguna contradicción dentro del ámbito de las matemáticas existentes.

Tenga en cuenta que podría pensar: "ok, ¿por qué no simplemente presentar una carta cada vez que tiene algo que no se puede resolver? Simplemente llamaré 1/0 = f".

Intentalo. No siempre funciona porque las reglas existentes de aritmética se rompen. Por ejemplo, puede mostrar que definir 1/0 = f le permite mostrar que 1 = 2, o 1 = 3, ...

Matemáticamente funciona y no condujo a ninguna contradicción. De repente, tenemos una manera de "agrupar" dos piezas de información en un solo número debido a la forma en que puede representar un número complejo: en un plano real / imaginario. De repente, podemos manipular un NÚMERO que contiene tanto magnitud como fase de la misma manera que manipulamos "números regulares". Esto es bastante útil.

En electrónica es bastante conveniente poder agrupar dos datos en un solo número. Por lo tanto, es bastante conveniente hacer uso de números complejos. Eso es todo lo que es. Simplemente queremos hacer un seguimiento tanto de una magnitud como de una fase: esta herramienta matemática que en muchos sentidos acaba de inventarse de la nada pero que no rompe ninguna regla nos permite hacer eso. Así que usémoslo.

rusty_old_jfet
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Estás omitiendo algunos detalles bastante importantes aquí. Los números imaginarios no son solo una forma de combinar dos números reales arbitrarios en un vector; La estructura de los números complejos hace que las operaciones en el par real / imaginario se comporten de una manera específica.
duskwuff -inactive-
@duskwuff: Creo que su punto fue que una vez que uno decide que j representa una de las dos raíces de x ^ 2 = -1, no hay necesidad de inventar una estructura para ellos, ya que la estructura de números complejos [por ejemplo, multiplicando (a + bj) por (c + dj) producirá (ac-bd) + (ad + bc) j] resulta de la combinación de las leyes de la aritmética con ese axioma adicional.
supercat
@Supercat Derecha. A lo que intento llegar es a que hay cierta importancia física en esa estructura, no es solo un truco matemático inventado al azar.
duskwuff -inactive-
-1

En matemáticas, la unidad imaginaria es un número muy útil que se usa para resolver ecuaciones con un orden superior a 2. Fue presentado solo ... a la prueba, y funciona bastante bien hasta hoy. Esto permite obtener al menos una raíz en cada polinomio.

En electrónica, la unidad imaginaria representa la energía almacenada en nuestro circuito. Entonces, en el condensador, es la energía almacenada en él. También representa el cambio de fase en el circuito, cuando se trata de señales sinusoidales.

Creo que deberías precisar más tu pregunta, o simplemente escribir preguntas que te molesten en los puntos.

Por ejemplo ... Si la impedancia de su circuito estará representada solo por una unidad imaginaria, no por real, su factura de energía será ... cero :)

VIPPER
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