Polos y ceros en inglés

¿Alguien puede explicar, o proporcionar una buena referencia a una explicación de polacos y ceros, por ejemplo, un compensador de suministro de energía, o cualquier sistema de control para el caso? Realmente no estoy buscando una explicación matemática, ya que eso parece bastante sencillo, sino lo que significan en un sentido práctico.

Parece común, por ejemplo, que los documentos o notas de aplicaciones mencionen algo como "una configuración de amplificador de error tipo III tiene tres polos (uno en el origen) y dos ceros" o "agregar condensador C1 introduce un cero adicional en el sistema" como si se supone que debo sacar algo de eso sin más explicaciones. En realidad, estoy como "ughhh, ¿y qué?"

Entonces, ¿qué significaría algo así desde un sentido práctico? ¿Son los polos puntos de inestabilidad? ¿El número de ceros y polos indica algo sobre la estabilidad o la falta de ella? ¿Hay alguna referencia sobre esto en alguna parte escrita de una manera comprensible que me permita (más de un uso práctico, no matemática hardcore por el tipo de matemática) unirme a la multitud cuando se trata de notas de aplicaciones que hacen referencia a ceros y polacos? ?

1. Se puede describir un sistema de retroalimentación (como cualquier otro circuito de CA) utilizando una función compleja . Se llama la función de transferencia del sistema y describe todo su comportamiento lineal.$L(s)$

2. $L(s)$ se pueden representar como dos gráficos: uno para la magnitud y otro para la fase, ambos frente a la frecuencia (los gráficos del cuerpo). Estas parcelas nos permiten determinar fácilmente la estabilidad del sistema. Un sistema inestable obtiene un cambio de fase de 180 ° (por lo que una retroalimentación negativa de repente comienza a ser positiva) mientras aún tiene algo de ganancia.

3. Cada función compleja que describe un circuito eléctrico está completamente definida por sus polos y ceros. Si escribe la función como una razón de dos polinomios de entonces los ceros son puntos donde el numerador es igual a y los polos son ceros del denominador.$j\omega$$0$

4. Es bastante fácil dibujar gráficos de Bode a partir de polos y ceros, por lo que son el método preferido para especificar sistemas de control. Además, si puede ignorar la carga de salida (porque separó las distintas etapas con amplificadores operacionales), puede multiplicar las funciones de transferencia sin hacer todos los cálculos normales del circuito. La multiplicación de relaciones polinómicas significa que puede concatenar las listas de polos y ceros.

Volviendo a tu pregunta:

1. Consulte la página de Wikipedia para obtener una introducción y este tutorial para obtener una referencia sobre cómo dibujar diagramas de Bode de una lista de polos y ceros.

2. Lea un poco sobre las cosas prácticas en la transformación de Laplace . Versión corta: solo calcula el circuito como con números complejos pero sustituyendo donde escribiría . Luego encuentra y tiene su función de transferencia.$s$$j\omega$$V_{out} \over V_{in}$

3. Desde una función de transferencia de bucle abierto (imagine cortar el bucle con unas tijeras y colocar algún tipo de medidor de respuesta de frecuencia) dibuja gráficos de Bode y verifica la estabilidad. La nota de aplicación Comentarios, amplificadores operacionales y compensación es breve y densa, pero tiene toda la teoría que necesita para esta parte. Intenta al menos hojearlo.

En resumen, los polos y ceros son una forma de analizar la estabilidad de un sistema de retroalimentación.

Trataré de no tener demasiadas matemáticas, pero no estoy seguro de cómo explicar sin al menos algo de matemáticas.

Aquí está la estructura básica de un sistema de retroalimentación:

De esta forma no hay ganancia o compensación en la ruta de retroalimentación, se coloca completamente en la ruta de avance, sin embargo, la porción de retroalimentación de los sistemas más generales se puede transformar para que se vea así y se analice de la misma manera.

La función de transferencia en el cuadro se llama porque el análisis a menudo se realiza en el espacio de transformación de Laplace. Las transformaciones de Laplace son similares a las transformadas de Fourier, por lo que puede pensar en L (s) como una respuesta de frecuencia. Por ejemplo, un filtro de paso bajo perfecto tiene para menor que la frecuencia de corte, y encima de la frecuencia de corte.L ( s ) = 1 s L ( s ) = $L(s)$$L(s) = 1$$s$$L(s) = 0$

$L(0)$ es la ganancia de CC del sistema. Para un sistema de control de retroalimentación, es deseable una gran ganancia de CC porque reduce el error de seguimiento de estado estable del sistema.

Polos y ceros

A e i θ θ L ( s $L(s)$ es una función de valor complejo. Usualmente se usa la forma polar ; $ A $ es la magnitud y es la fase. La magnitud de también se llama ganancia.$A e^{i \theta}$$\theta$$L(s)$

Los polos y ceros proporcionan una manera conveniente y rápida de pensar sobre las propiedades de . Cuando se realiza una gráfica aproximada de , los polos contribuyen con -90 ° de fase por encima de la frecuencia del polo y hacen que la magnitud se "desplace" (disminuya). Los ceros hacen lo contrario: aportan + 90 ° de fase y la magnitud aumenta. Esto probablemente tendrá mucho más sentido mirando las imágenes y la sección "Reglas para el diagrama de Bode hecho a mano" de http://en.wikipedia.org/wiki/Bode_plot .L ( s $L(s)$$L(s)$

Para que un sistema sea estable, la magnitud de debe caer por debajo de la unidad antes (a una frecuencia más baja) de que la fase alcance -180 °. Por lo general, se requiere cierto margen aquí; "margen de ganancia" y "margen de fase" son dos formas de medir qué tan lejos está del punto (1, -180 °).L ( s $L(s)$$L(s)$

Como ejemplo simple, un amplificador operacional podría tener . En este caso hay un polo en cero y no hay ceros. Como era de esperar para un amplificador operacional, hay una gran ganancia de CC. La ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia de DC (debido al polo en cero). Según este modelo, el sistema no puede ser inestable porque la fase nunca es inferior a -90 °.$L(s) = \frac{10^{6}}{s}$

Al leer una nota de la aplicación que habla sobre polos y ceros, es posible que necesite descubrir la forma general de para el sistema en cuestión, o puede sacar algunas conclusiones solo de una lista de polos y ceros. Agregar un polo o un cero a un sistema cambiará tanto la ganancia como el margen de fase; Agregar un polo y un cero juntos (a diferentes frecuencias, ambos por debajo del crossover de -180 °) cambiará el margen de ganancia pero no el margen de fase. Agregar dos ceros y dos polos puede crear una joroba en (piense en el filtro de paso de banda), sin cambiar ni la ganancia ni el margen de fase.L ( s $L(s)$$L(s)$

Espero que esto ayude. En general, esperaría que las hojas de datos y las notas de la aplicación sugieran valores para los componentes de compensación, de modo que el usuario no necesite analizar la estabilidad a menos que haya requisitos especiales. Si tiene una parte específica en mente que tiene problemas para usar y publica un enlace en la hoja de datos, podría ofrecerle algo.

Un polo es una frecuencia en la que un filtro resuena y tendría, al menos matemáticamente, una ganancia infinita. Un cero es donde bloquea una frecuencia: ganancia cero.

Un condensador de bloqueo de CC simple, como para acoplar amplificadores de audio, tiene un cero en el origen: bloquea las señales de 0Hz, es decir, bloquea el voltaje constante.

En general, estamos lidiando con frecuencias complejas. Consideramos no solo señales que son sumas de ondas seno / coseno, como lo hizo Fourier; Teorizamos sobre los senos / cosenos que crecen o decaen exponencialmente. Los polos y ceros que representan tales señales pueden estar en cualquier parte del plano complejo.

Si un polo está cerca del eje real, que representa ondas sinusoidales estables normales, eso representa un filtro de paso de banda afinado, como un circuito LC de alta calidad. Si está lejos, es un filtro de paso de banda suave y blando con un valor bajo de 'Q'. El mismo tipo de razonamiento intuitivo se aplica a los ceros: las muescas más nítidas en el espectro de respuesta se producen cuando los ceros están cerca del eje real.

La función de transferencia L (s) que describe la respuesta de un filtro debe tener el mismo número de polos y ceros. Este es un hecho básico en el análisis complejo, válido porque estamos tratando con componentes agrupados lineales descritos por álgebra simple, derivados e integrales, y podemos describir senos / cosenos como funciones exponenciales complejas. Este tipo de matemáticas es analítico en todas partes. Sin embargo, es común no mencionar polos o ceros en el infinito.

Cualquiera de las entidades, si no está en el eje real, aparecerá en pares, en una frecuencia compleja y en su conjugado complejo. Esto se relaciona con el hecho de que las señales reales resultan en señales reales. No medimos voltajes de números complejos. (Las cosas se ponen más interesantes en el mundo de las microondas).

Si L (s) = 1 / s, ese es un polo en el origen y un cero en el infinito. Esta es la función para un integrador. Aplique un voltaje constante, y la ganancia es infinita: la salida sube sin límite (hasta que alcanza el voltaje de suministro o el ciruit fuma). En el extremo opuesto, poner una frecuencia muy alta en un integrador no tendrá ningún efecto; se promedia a cero con el tiempo.

Los polos en el "medio plano derecho" representan una resonancia a alguna frecuencia que hace que una señal crezca exponencialmente. Por lo tanto, desea polos en el medio plano izquierdo, lo que significa que para cualquier señal arbitraria puesta en el filtro, la salida finalmente decaerá a cero. Eso es para un filtro normal. Por supuesto, se supone que los osciladores oscilan. Mantienen una señal constante debido a las no linealidades: los transistores no pueden emitir más de Vcc o menos de 0 voltios para la salida.

Cuando observa una gráfica de respuesta de frecuencia, puede adivinar que cada golpe corresponde a un polo y cada caída a cero, pero eso no es estrictamente cierto. y los polos y ceros lejos del eje real tienen efectos que no son aparentes de esa manera. Sería bueno si alguien inventara un applet web Flash o java que le permitiera mover varios polos y ceros a cualquier lugar y trazar la respuesta.

Todo esto está demasiado simplificado, pero debería dar una idea intuitiva sobre lo que significan los polos y ceros.

Permítanme tratar de resumir esto en términos aún más simples que las explicaciones detalladas que se han publicado anteriormente.

Lo primero que debe darse cuenta es que los polos y ceros, para los tipos de sistemas de control, implica que estamos en el dominio de Laplace. La transformación de Laplace se creó para permitir que las ecuaciones diferenciales e integrales se traten de manera algebraica. La 's' en una ecuación de Laplace significa "la derivada de" y "1 / s" significa "tomar la integral de". Pero si tiene un bloque que tiene una función de transferencia de (1 + s) seguido de otro con una función de transferencia (TF) de (3 - 5 / s), puede obtener la función de transferencia total simplemente multiplicando (1 + s ) por (3 - 5 / s) y obtener (3s - 5 / s - 2), que es considerablemente más fácil de hacer que si permaneciera en el dominio regular y tuviera que trabajar con integrales y derivados.

Entonces, a la pregunta -> un polo significa que la función de transferencia general tiene una 's' para la cual su valor es infinito. (Como puede imaginar, esto a menudo es algo muy malo). Un cero significa exactamente lo contrario: un valor de 's' da como resultado el TF global = 0. Aquí hay un ejemplo:

Un TF es (s + 3) / (s + 8). Este TF tiene un cero en s = -3 y un polo en s = -8.

Los polos son un mal necesario: para hacer algo útil, como, por ejemplo, hacer que la salida de un sistema real rastree una entrada, se necesitan polos. A menudo necesita diseñar el sistema con más de uno de ellos. Pero, si no observa su diseño, uno o más de esos polos podrían desviarse hacia "s es igual a un número con un componente real positivo" (es decir, la mitad derecha del plano). Esto significa un sistema inestable. A menos que esté construyendo intencionalmente un oscilador, esto generalmente es muy malo.

La mayoría de los sistemas de bucle abierto tienen polos y ceros que se caracterizan fácilmente y se comportan muy bien. Pero cuando intencionalmente (o involuntariamente, lo cual es extremadamente fácil de hacer) toma una parte de la salida y la retroalimenta a alguna parte anterior del sistema, ha creado un sistema de retroalimentación de circuito cerrado. Los polos y ceros de bucle cerrado ESTÁN relacionados con los polos y ceros de bucle abierto, pero no de manera intuitiva para el observador casual. Baste decir que aquí es donde los diseñadores a menudo se meten en problemas. Esos polos de circuito cerrado deben permanecer en el lado izquierdo del avión de Laplace. Las dos técnicas más utilizadas para lograrlo son controlar la ganancia general a través de la ruta de bucle cerrado y / o agregar ceros (los ceros de bucle abierto aman los polos de bucle abierto, y a menudo hacen que los polos de bucle cerrado se comporten de manera muy diferente).

Un comentario rápido sobre una respuesta altamente calificada arriba: "En resumen, los polos y ceros son una forma de analizar la estabilidad de un sistema de retroalimentación".

Si bien la afirmación es cierta, el sistema no tiene que tener comentarios para que estos conceptos sean útiles. Los polos y ceros son útiles para comprender la mayoría de los sistemas reales con una respuesta de frecuencia, que no sea una respuesta plana, como filtros, amplificadores y cualquier tipo de sistema dinámico.

Para agregar algunas matemáticas (tenemos que hacerlo, es un concepto matemático), puede (para muchos sistemas) expresar una respuesta de frecuencia de un sistema como:

H (f) = B (f) / A (f)

y B (f) y A (f) pueden expresarse como polinomios complejos en frecuencia.

Un ejemplo simple: considere un filtro de paso bajo RC (voltaje de entrada -> serie R -> derivación C -> voltaje de salida).

La ganancia (función de transferencia) se puede expresar en el dominio de frecuencia como:

Vout (f) / Vin (f) = H (f) = 1 / (1 + j * 2 * pi * f * R * C),

donde j (o i) es la raíz cuadrada de -1.

Hay un polo a la frecuencia fp = 1 / (2 pi RC). Si traza la magnitud de esta ecuación compleja, encontrará que la ganancia en DC es 1 (0dB), que la ganancia cae a -3dB en f = fp = 1 / (2 * pi * RC), y que la ganancia continúa cayendo a -20dB por década (aumento de 10x) en frecuencia después del polo.

Entonces puede pensar en el polo como un punto de quiebre en la respuesta de ganancia frente a la frecuencia. Este simple ejemplo es un filtro de paso bajo con una "frecuencia de esquina" en w = 1 / (RC) o f = 1 / (2 pi RC).

En términos matemáticos, un polo es una raíz del denominador. Del mismo modo, un cero es una raíz del numerador, y la ganancia aumenta a frecuencias superiores a un cero. La fase también se ve afectada ... pero tal vez eso sea más que suficiente para un hilo no matemático.

El "orden" es el número de polos y el "tipo" es el número de polos en f = 0 (integradores puros).