Los monopolios son solo un malentendido matemático

12

Un pequeño rascador de cabeza (y un buen ejemplo de por qué debemos tener cuidado con la notación).

Considere un monopolio de maximización de ganancias, que resuelve el precio

(1)maxπ=PAGQ(PAG)-C(Q(PAG))

Siguiendo los pasos de rutina ( ver esta publicación )

llegamos al importante resultado de que, al precio de maximización de beneficios, la elasticidad precio de la demanda debería ser mayor que en términos absolutos, o menor que en términos algebraicos. Es decir, al precio de maximización de beneficios que tenemos- 11-1

η=QPAGPAGQ<-1QPAGPAG<-Q

(2)QPAGPAG+Q<0 0

Pero es la derivada de y , Ingresos totales. Entonces , Marginal Revenue y acabamos de obtenerlo al precio de maximización de ganancias y para tener una elasticidad mayor que en términos absolutos, debemos tener .QPAGPAG+QPAGQ(PAG)PAGQ(PAG)=TRQPAGPAG+Q=METROR1METROR<0 0

Pero también ahora que en el punto de maximización de ganancias tenemos .METROR=METROC>0 0

Por lo tanto, no existe una solución y, por lo tanto, concluimos que los monopolios son solo un malentendido matemático.

Ahora, me metí en problemas (?) Para escribir esta publicación sonriente, espero que alguien entre en las pocas docenas de segundos necesarios para escribir una respuesta clara para señalar dónde está el truco.

Alecos Papadopoulos
fuente
2
@AlecosPapadopoulos, disculpe mi comentario no relacionado, pero ¿cómo podría esta pregunta obtener más de 220 visitas en unas pocas horas?
Londres
1
@london Debido a su título.
Alecos Papadopoulos
1
@london Y luego, está el efecto acelerador de las "preguntas candentes". Actualmente se encuentra en la barra lateral de preguntas candentes en el sitio de matemáticas.
Alecos Papadopoulos
2
¿Entiendo correctamente que estás publicando preguntas trucadas deliberadamente?
EnergyNumbers
1
@EnergyNumbers Sí, esta fue una pregunta capciosa, como está escrito en la última oración de la publicación.
Alecos Papadopoulos

Respuestas:

14

PQ(P)=TR , Ingresos totales.

PQ(P)PQPP+Q es la derivada de con respecto a .PQ(P) P

T R QMR , el ingreso marginal, es la derivada de con respecto a .TR Q

Entonces, en generalQPP+QMR

Adam Bailey
fuente
1
¡Esa es la respuesta perfecta "pocas docenas de segundos según lo solicitado"!
Alecos Papadopoulos
@AlecosPapadopoulos Gracias (principalmente mi suerte de haber iniciado sesión en el momento adecuado).
Adam Bailey
1

Para complementar la respuesta directa de @AdamBailey, el propósito de esta publicación fue alertar a los lectores interesados ​​sobre las consecuencias de cambiar las variables de decisión en nuestro pensamiento.

Estamos acostumbrados a pensar en la Demanda como "precio según la cantidad" o "cantidad según el precio". Pero en el lado del costo de producción, automáticamente tendemos a pensar en el costo dependiendo de la cantidad, no del precio de venta.

Por lo tanto, ser incluso un poco tediosamente explícito con notación vale la pena (pregunte a los chicos sobre la optimización dinámica, por ejemplo, el libro de Caputo ). En el ejemplo específico, los símbolos , M R , M C no revelan la variable de decisión, y aquí es donde se basó el truco. Pero si, escribimosTRMETRORMETROC

maxπ=TR[Q(PAG)]-C[Q(PAG)]

indicaríamos claramente que nuestra variable de decisión final es el precio, y así

F.o.C:METROR(Q)QPAG-METROC(Q)QPAG=0 0

(METROR(Q)-METROC(Q))QPAG=0 0METROR(Q)=METROC(Q)

mientras que también veríamos claramente que

TRPAG=METROR(Q)QPAG=QPAGQ+Q

y para que el requisito sobre la elasticidad precio de la demanda lleve a

TRPAG=METROR(PAG)=QQPAGQ+Q<0 0METROR(Q)QPAG<0 0METROR(Q)>0 0

(desde QPAG<0 0

Alecos Papadopoulos
fuente
Me gusta este tipo de preguntas difíciles y / o pequeños acertijos. Tal vez deberíamos pensar en algo como esto de vez en cuando. Con un límite inferior de lo rápido que uno puede ser, para que todos puedan pensar mientras todavía no hay respuesta en la publicación.
Un viejo en el mar.
@Anoldmaninthesea. Si te gustan los acertijos, mira mi respuesta a esta publicación, math.stackexchange.com/q/490851/87400 Tengo que decir que estoy muy orgulloso de ello.
Alecos Papadopoulos
¿Qué opinas del libro de caputo? lo recomiendas?
Un viejo en el mar.
1
@Anoldmaninthesea. Absolutamente. Puede volverse loco al principio, con toda su notación enloquecedora e insiste en escribir en detalle todos los argumentos de cada función presente en las diversas relaciones, pero si se familiariza con eso, se dará cuenta de cómo ayuda a comprender claramente todo. . Realmente entendí la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman por primera vez debido a este libro.
Alecos Papadopoulos
Ahora, realmente debo leerlo. =)
Un anciano en el mar.