Colusión y número de empresas.

¿Cómo responderías la siguiente pregunta?

Trabajas para un CEO de una gran empresa. Él le dice: "En mi experiencia, la colusión es menos probable que se mantenga a medida que aumenta el número de empresas en el mercado. Demuestre esto usando un modelo de competencia de Bertrand " .

Digamos que tenemos n empresas idénticas y un horizonte de tiempo infinito.

Las n empresas que sostienen la colusión encontrarán lo óptimo para fijar el mismo precio donde es el precio del nivel de monopolio y definimos como las ganancias que cada empresa obtiene al mantener la colusión. en cada momento t.$p_m$$p_m$$\frac{\Pi^m}{n}$

Ahora, por supuesto, cada empresa puede traicionar a las demás fijando un precio inferior a , es decir, , donde ε es pequeño, y al hacerlo, la empresa capturará toda la demanda porque en este mercado las empresas están haciendo el Bertrand competencia. En otras palabras, la empresa al traicionar a los demás, obtendrá casi π_m en el momento T = t. También asumiremos que en todas las t> T ninguna empresa obtendrá ganancias, ya que castigarán a la empresa, fijando el precio en la competencia de Bertrand.$p_m$$p_m-ε$

La empresa desertará si:

$π_m/n + δπ_m/n + δ^2π_m/n.... < π_m+0+0....$

Donde δ es el factor de descuento.

Esto puede reescribirse como:

$(\frac{π_m}{n})(\frac{1}{(1-δ)}) < π_m$

Ahora podemos ver que si n, el número de empresas, aumenta, entonces las ganancias al sostener la colusión disminuirán, por lo que la desigualdad anterior será más probable que sea cierta. Esto significa que una empresa tiene menos incentivos para mantener una colusión cuando hay demasiados participantes, porque las ganancias se dividirán entre demasiadas empresas y el castigo se considerará menos pesado.

Así es como trataría de modelar esto. Necesita algunos detalles más, pero creo que esta es la esencia básica.

Debe permitir que las empresas observen imperfectamente los precios de otras empresas. Una forma de hacerlo es asignar cierta probabilidad al evento de que se observe el precio de cualquier empresa. Digamos, cada empresa lanza una moneda y, si es cara, la empresa debe revelar su precio. Ahora, suponga que la probabilidad de que se revele el precio de una empresa es inversamente proporcional al número de empresas en el mercado. Cuando la probabilidad de que se revele su precio se vuelve más baja, una empresa cree que tiene más posibilidades de "engañar" el acuerdo del cartel. Todo el mundo lo sabe en un juego simétrico. Entonces, si una empresa cree que la otra empresa tiene una mejor oportunidad de salirse con la suya, su mejor respuesta es también hacer trampa. Entonces, cuando aumenta el número de empresas, el incentivo para que cada empresa haga trampa aumenta y aumenta.

Solo para tener en cuenta, creo que Stigler tiene un documento ("A Theory Oligopoly") que describe un modelo que da un resultado opuesto.

Creo que la pregunta desea que se refiera a la llamada "paradoja de Bertrand": el término competencia de Bertrand se refiere a la competencia de precios (es decir, las empresas compiten eligiendo precios, en oposición, por ejemplo, a cantidades en la llamada "competencia de Cournot"). En el caso más simple, con costos marginales constantes iguales a c, por ejemplo, una sola empresa establecerá el precio de monopolio. Ahora, si considera el caso de dos empresas que compiten en precios, con los mismos costos marginales constantes y bajo el supuesto de que los precios se miden en la línea real, es fácil demostrar que existe un equilibrio de Nash único en el que ambas empresas (cuyos la estrategia consiste en elegir un precio) cobrará un precio igual a su costo marginal, es decir, al agregar una sola empresa pasará del precio de monopolio al precio de costo marginal.

Esta es la respuesta más simple a su pregunta que se me ocurre, ahora confieso que estaba tratando de resolver una tarea de pregrado .... ;-)

El libro de texto de teoría de juegos de ps Osborne es muy claro en esto, si necesita ponerse al día con el autoestudio.