Condición de concavidad estricta diagonal de Rosen

Considere un juego con jugadores, la estrategia espacial S ⊂ R , donde S es conjunto acotado y del jugador i función de pagos π i : S n → R . La condición de Rosen ( JB Rosen. Existencia y unicidad de los puntos de equilibrio para juegos cóncavos de n personas. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) por la unicidad del Equilibrio de Nash en el juego de n jugadores establece que el equlibrium será único cuando$n$$S \subset \mathbb{R}$$S$$i$$\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

1. función de pago es cóncavo en su propia estrategia$\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
2. Existe el vector ( ( ∀ i ∈ N ) ( z i ≥ 0 ) ∧ ( ∃ i ∈ N ) ( z i > 0 ) tal que la función σ ( s , z ) = ∑ n i = 1 z i π i ( s ) es diagonalmente estrictamente cóncavo$\textbf{z}$$(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$$\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

denota el conjunto de jugadores.$N$

Para definir el concepto de concavidad diagonal estricta, primero introduzca 'pseudogradiente' de la función , definida con: g ( s , z ) = ( z 1 ∂ π 1 ( s$\sigma$ Entonces,se dice que lafunciónσesdiagonalmente estrictamente dominanteens∈Sparaz≥0fijosi para cadas0,s1∈S secumple lo siguiente: (s1-s0)′g(s0,z)+(s0-s1)′g(s1

$\sigma$$\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$$\mathbf{s} \in S$$G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$$g$$\mathbf{s}$

$\sigma(s,z)$$\sigma$$g(s,z)$

$\sigma$