IP = PSPACE aparece como el ejemplo canónico de un resultado no relativizante, y la prueba de esto es que existe un oráculo tal que , mientras que {\ sf CONP} ^ O \ subseteq {\ sf PSPACE} ^ O para todos los oráculos O .c o N P O ⊈ I P O c o N P O ⊆ P S P A C E O O
Sin embargo, solo he visto a unas pocas personas dar una explicación "directa" de por qué el resultado de no se relativiza, y la respuesta habitual es "aritmetización". Tras la inspección de la prueba de IP = PSPACE, esa respuesta no es falsa , pero no es satisfactoria para mí. Parece que la razón "real" se remonta a la prueba de que el problema TQBF - verdadera fórmula booleana cuantificada - está completo para PSPACE; Para demostrarlo, debe demostrar que puede codificar configuraciones de una máquina PSPACE en un formato de tamaño polinómico, y (esta parece ser la parte no relativizante) puede codificar transiciones "correctas" entre configuraciones en un tamaño de polinomio fórmula booleana: utiliza un paso de estilo Cook-Levin.
La intuición que he desarrollado es que los resultados no relativizantes son los que se asoman con la esencia de las máquinas de Turing, y el paso donde se muestra que TQBF está completo para PSPACE es donde sucede esta búsqueda, y el paso de aritmetización podría Solo sucedió porque tenías una fórmula booleana explícita para aritmetizar.
Esto me parece ser la razón fundamental por la que IP = PSPACE no es relativizante; y el mantra folklórico de que las técnicas de aritmetización no se relativizan parece ser un subproducto de eso: ¡la única forma de aritmetizar algo es si tienes una fórmula booleana que codifica algo sobre TM en primer lugar!
¿Se me escapa algo? Como una pregunta secundaria, ¿significa esto que todos los resultados que usan TQBF de alguna manera tampoco se relativizan?
Respuestas:
Cualquier respuesta a una pregunta de la forma, "¿Cuál es la verdadera razón por la que ..." será necesariamente algo subjetiva. Sin embargo, para el caso particular de IP = PSPACE, creo que se puede hacer un caso bastante bueno de que la aritmetización es realmente la clave, al observar que si bien IP = PSPACE no se relativiza , sí se algebriza en el sentido de Aaronson y Wigderson . Como explican en su artículo, en términos generales, una inclusión de clase de complejidad algebriza si C A ⊆ D ˜ A para todos los oráculos A y todas las extensiones de bajo grado ˜ A deC⊆ D CUN⊆ DUN~ UN UN~ . En particular, muestran que la inclusión PSPACE ⊆ IP algebriza, a pesar de que no se relativiza.UN ⊆
Esto no es una mala intuición, pero creo que el resultado de Aaronson-Wigderson muestra que la prueba IP = PSPACE da vueltas de una manera bastante limitada, y ciertamente no de una manera lo suficientemente sofisticada como para probar P NP, ya que Aaronson y Wigderson también demostrar que se requerirán técnicas no algebrizantes para separar P de NP.≠
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