Reducción de las preguntas de umbral a preguntas de finitud

Por lo general, es más simple razonar sobre el cálculo donde la limitación es la finitud de la computación en lugar de un umbral como "computable en una cantidad de tiempo polinómica".

En la teoría de los lenguajes formales, por ejemplo, en lugar de usar para caracterizar un monoïd aperiódico, es más fácil usar palabras profinas para que .$\exists n. x^{n+1} = x^n$$x^{\omega+1} = x^{\omega}$

En la teoría de la complejidad, la única técnica que conozco que está relacionada con eso es el truco del relleno, por ejemplo, vincular el problema de P vs NP a EXPTIME vs NEXPTIME. Pero el equivalente natural infinito de las preguntas de complejidad serían las de computabilidad.

¿Hay algunos resultados que vinculen la complejidad con las preguntas de computabilidad utilizando una codificación tal que el umbral de recursos de la teoría de la complejidad se convierta en una cuestión de finitud de la computación en la teoría de la computabilidad?

Sipser demostró que no se puede calcular la paridad infinita por un circuito (infinito) de cualquier profundidad constante, que puede ver como un calentamiento para el resultado de que PARITY no está en .$AC^0$

También hay algunos resultados e intentos de pruebas de límites inferiores en la complejidad de la prueba usando modelos no estándar (algunos resultados de Ajtai y Krajicek. Ver especialmente "Forzando con variables aleatorias y complejidad de prueba" de Krajiceks, disponible en Cambridge Press, pero también un borrador disponible en línea ). La idea básica es construir un modelo aritmético no estándar en el que una declaración sea falsa en el modelo (en lugar de "verdadero, pero sin pruebas cortas"), y luego, a partir de las propiedades del modelo, infiera que una secuencia correspondiente de finito las declaraciones no tienen pruebas de tamaño polinómico en algún sistema de prueba.

No estoy seguro, pero mi impresión es que a menudo estos resultados "esconden los asintóticos debajo del capó", por lo que no es tanto una reducción del umbral a la finitud como un nuevo lenguaje matemático en el que "falso" en el nuevo idioma corresponde a "sin pruebas cortas" en el idioma antiguo. Eso no quiere decir que el nuevo lenguaje no proporcione un nuevo punto de vista útil, pero no estoy muy seguro de si es lo que está buscando.

Los campos de la complejidad descriptiva y la complejidad implícita podrían considerarse como un enfoque de este tipo. Ambos convierten una restricción de recursos (como o ) en expresibilidad del problema en un formalismo lógico (para la complejidad descriptiva) o en un lenguaje de programación específico (para la complejidad implícita).$P$$NP$

Por lo tanto, no se relaciona per se con el cálculo infinito, sino con la expresibilidad del problema en un modelo dado. Sin embargo, está cerca en el sentido de que convierte un problema cuantitativo en uno cualitativo.