¿Existe un homomorfismo de coalgebra débil?

Dado un endofunctor , podemos definir funciones de observación como funciones que son polimórficos para cualquier F -coalgebra, es decir o b s se define para cualquier F -coalgebra ⟨ A , C : A → F A ⟩ . o b s : ∀ ⟨ A , c ⟩ . A → B Otra forma de ver las funciones de observación es como funciones de la final$F : Set \rightarrow Set$$F$$obs$$F$$\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

$$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$$ -coalgebrasi existe. Obtenemos el polimorfismo de forma automática al componer la función de observación con el homomorfismo exclusivo delálgebra F final. Pero esto solo funciona siexisteel últimoálgebra$F$$F$$F$

Una de las características definitorias de una función de observación es que cancela cualquier homomorfismo de coalgebra compuesto a la derecha, debido a su polimorfismo. Si es un homomorfismo del álgebra F , entonces: o b s = o b s ∘ h o m Durante mi investigación, en un intento por definir una noción de consistencia observacional entre un coalgebra y otro, tuve la idea de un Cogebra débil homomorfismo. La idea es que podemos "fingir" un homomorfismo de coalgebra si conocemos la función de observación con anticipación. Por lo tanto, podríamos satisfacer, o b s = o b $hom$$F$

$$obs = obs \circ hom$$ pero solo para una o b s en particular. $$obs = obs \circ hom$$ $obs$

$FX = \{0,1\} \times X$$obs$

$$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$$ $$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$$ $obs$

$obs$

En mi investigación, esta noción sería útil para mostrar que un coalgebra es observacionalmente consistente con otro al mostrar que cada función de observación lineal finita tiene un homomorfismo débil desde el primer coalgebra hasta el segundo coalgebra. En otras palabras, cada observación lineal finita en el primer coalgebra puede reproducirse en el segundo coalgebra.

(Lo que quiero decir con función de observación lineal parece irrelevante, pero por el simple hecho de compartir ... Una función de observación lineal es más o menos una que usa cada estado del conjunto de portadores solo una vez. Estoy tratando de modelar un oráculo, y el usuario no puede regresar y pretender que nunca hizo una pregunta).

Mis preguntas son así:

1. ¿Se ha investigado esto? ¿Ya existen "homomorfismos de coalgebra débil", quizás con algún otro nombre?

2. ¿Hay alguna forma más de "teoría de categorías" para presentar esto?

Editar : se eliminaron dos preguntas que no son tan importantes.

Los 'morfismos débiles' que describe tienen un nombre en un entorno ligeramente restringido. También se pueden definir de manera bastante general, como explicaré.

$T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \leq \omega$. Antes de la coalgebra, los lógicos modales habían estudiado las bisimulaciones de n pasos para los marcos de Kripke, que equivalen a bisimulaciones de n pasos para las coalgebras para el functor powerset. Su requisito de que sean funciones en lugar de relaciones las convierte en bisimulaciones funcionales de n pasos.

$\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

$1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$$\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$

$T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

De todos modos, espero que esto sea útil. Puede encontrar varias referencias buscando en Google 'secuencia terminal coalgebra' o 'secuencia final coalgebra'.

Como regla, uno debe evitar terminología muy sobrecargada como débil, regular, normal, etc. a menos que la noción tenga algo de universalidad. En particular, parece que su noción no se corresponde con la noción habitual de homomorfismo débil después de mover la flecha.

Siempre hay términos más descriptivos cada vez que haces algo menos universal, como "homomorfismo debilitado por observación", tal vez acortado a "homomorfismo ow".

Su noción de función de observación ya proporciona una presentación teórica de categoría. Me preocuparía más aclarar qué significa exactamente y por qué es interesante, en lugar de buscar la mayor generalidad posible. En particular, normalmente debe dar un ejemplo informativo y un no ejemplo al introducir nociones inusuales en forma impresa.