Dado un gráfico , el problema clásico de coincidencia máxima es elegir el subconjunto máximo de aristas st, para cada arista , .
¿Alguien ha estudiado la siguiente variante? Para cada arista , ( ( d ( u ) < c ) ∨ ( d ( v ) < c ) ) se mantiene, donde c es una constante. Llamamos a esta restricción una restricción de grado.
La restricción clásica es una conjunción en grado con constante 1. La nueva variante es una disyunción en grado con constante .
El problema en ya es N P - c o m p l e t e como lo muestra Jukka Suomela. Estoy interesado en los posibles algoritmos de aproximación. Un algoritmo codicioso simple es seleccionar el subgrafo de estrella máximo iterativamente hasta que no se pueda seleccionar ningún subgrafo de estrella (es decir, sin borde (una estrella especial)). Pero este algoritmo funciona mal incluso cuando G es un árbol cuando c = 3 . Hay una estrella interna cuyo centro tiene grado x , y hay x estrellas externas cada centro tiene grado xy conectado al centro de la estrella interior. El valor óptimo es seleccionando x - 2 aristas de cada una de x - 2 estrellas externas y 2 estrellas externas completas. El valor producido por el algoritmo verde es x + 1 ∗ x seleccionando la estrella interna y un borde de cada estrella externa.
El algoritmo codicioso anterior es aproximación, donden=| V| . Quiero encontrar un mejor algoritmo de aproximación de este algoritmo o demostrar su dureza de aproximación.
Además, quiero saber la clase de complejidad de este problema en el marco de la complejidad parametrizada. Tal vez lleva un algoritmo razonable de parámetros fijos.
Muchas gracias por tu comentario y respuesta por adelantado. :-)
Respuestas:
(Como parece que la conexión no es completamente obvia, escribiré una versión extendida de los comentarios anteriores como respuesta).
Me centraré en el caso de . En ese caso, el problema se puede reformular de la siguiente manera:c = 2
Equivalentemente:
Equivalentemente:
A continuación, interpretaré los nodos no coincidentes (nodos que no inciden en ningún borde en ) como estrellas con 0 bordes. Por lo tanto, una solución factible divide el conjunto de nodos en estrellas separadas por nodos.METRO
Ahora, si el número de tales estrellas es , entonces el número de aristas en M es exactamente n - k : hay n - k nodos de hoja que están conectados a un centro estelar. Por lo tanto, maximizar el número de aristas en M es equivalente a minimizar el número de estrellas.k METRO n - k n - k METRO
Ahora es sencillo ver que tenemos una solución con estrellas de este tipo si tenemos un conjunto dominante de tamaño k :k k
Por lo tanto la solución del problema de manera óptima en un determinado gráfico familia es exactamente tan difícil como encontrar un conjunto dominante mínimo en la misma familia gráfico F . En particular, el problema es NP-hard incluso en el caso de gráficos bipartitos.F F
(Sin embargo, los resultados de (in) aproximabilidad relacionados con conjuntos dominantes no pueden aplicarse directamente aquí. En esencia, hemos cambiado la función objetivo de a max n - | D | .)min | D | max n - | D |
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