Gráficos regulares e isomorfismo

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Me gustaría preguntar si hay un resultado ya publicado sobre eso:

Tomamos todos los caminos diferentes posibles entre cada par de nodos de dos gráficos regulares conectados (con el grado , digamos, y el número de nodos n ) y escribimos sus longitudes. Por supuesto, este número de caminos distintos es exponencial. Mi pregunta es, si clasificamos las longitudes y las comparamos (las listas obtenidas por los dos gráficos) y son exactamente iguales, ¿podemos decir que los dos gráficos son isomórficos?dn

Por supuesto, incluso si este es un resultado, no podemos usarlo para responder al isomorfismo gráfico, ya que el número de caminos distintos es exponencial, como se dijo

Por rutas distintas , me refiero a rutas que tienen al menos un nodo diferente, obviamente.

Gracias a priori por su ayuda.

N27
fuente
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en los gráficos de 2 regulares hay un número muy pequeño de caminos diferentes, ya que un gráfico de 2 regulares es una unión disjunta de ciclos. Por lo tanto, tiene 2 o 0 caminos entre cada par de vértices.
Nathann Cohen el
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Esta pregunta, aunque interesante, me parece más adecuada para MathOverflow .
Niel de Beaudrap

Respuestas:

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Creo que la respuesta a su pregunta es "no" porque una condición equivalente implicaría una solución de tiempo polinomial a IG.

Para , la matriz de adyacencia del gráfico G , tenga en cuenta que el número de trayectos desde i hasta j de longitud k es ( A k ) i , j (con la repetición de vértices y aristas permitidas). Para dos gráficos G 1 y G 2 (con matrices de adyacencia A 1 y A 2 ) y k 1 , si clasificó los elementos de A k 1 y A k 2, entonces paraAGijk(Ak)i,jG1G2A1A2k1A1kA2k para ser isomorfo a G 2 , es una condición necesaria que las listas sean idénticas para todos los k .G1G2k

Creo que tu conjetura es equivalente a:

Si las listas ordenadas de elementos de y A d 2 son idénticas para k = 1 a n - 1 (en el camino más largo con vértices no repetidos), entonces G 1 y G 2 son isomórficos.A1kA2dk=1n1G1G2

Entonces, para resolver IG, uno solo tiene que realizar multiplicaciones de n × n matrices (y un poco de tiempo extra para ordenar y comparar n 2 elementos). Esto llevaría menos de n 4 veces.n1n×nn2n4

Admito dos posibles fallas en mi argumento. Primero, es totalmente posible que GI tenga un algoritmo de tiempo polinómico y que lo hayamos descubierto juntos, justo ahora (¡hurra, somos famosos!). Esto me parece altamente improbable. En segundo lugar (y mucho más probable), lo que he propuesto no es realmente equivalente a su conjetura.

Pensamiento final. ¿Has probado esto para todos, digamos, gráficos de 3 regulares para el tamaño 8 más o menos? Creo que si su conjetura es falsa, debería haber un contraejemplo en gráficos 3-regulares de tamaño bastante pequeño.

bbejot
fuente
(Ak)i,j
@ N27: se puede probar utilizando la definición de multiplicación de matriz e inducción.
Tomek Tarczynski
Sí, fácilmente, de hecho ...
N27
Ah, parece que una vez más mi intuición me llevó por mal camino. Contar el número de rutas simples distintas en un gráfico (o incluso solo entre 2 nodos) es # P-completo. Entonces, mi argumento es incorrecto porque dice que un algoritmo de tiempo polinómico es equivalente a contar rutas simples. Ahora tampoco estoy completamente seguro de si su conjetura es correcta o no. Sin embargo, es un punto discutible porque no es probable que elija resolver un problema # P-complete sobre GI.
bbejot
6

Como solo está comparando las longitudes de las rutas (y mientras tanto olvidando a qué par de nodos corresponden si lo entendí bien), creo que gráficos muy similares deberían proporcionar un contraejemplo: al final solo está contando el número de caminos de una longitud fija e independientemente de los vértices que unen. Por ejemplo, creo que estos gráficos son un contraejemplo: http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/markus/REGGRAPHS/GIF/06_3_3-2.gif y http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/ markus / REGGRAPHS / GIF / 06_3_3-1.gif

Si no me equivoco (contar las rutas es tedioso), ambas tienen 9 rutas de longitud 1, 18 rutas de longitud 2, 48 rutas de longitud 3, 30 rutas de longitud 4 y 36 rutas de longitud 5

Arnaud
fuente
Cuento 36 caminos de longitud 3 en el primer gráfico y 30 gráficos de longitud 3 en el segundo gráfico. El problema es que el segundo gráfico tiene ciclos de longitud 3 donde el primer gráfico no. Sin embargo, todavía estoy de acuerdo en que debería haber un gráfico relativamente pequeño como contraejemplo. Sin embargo, todavía no he encontrado uno.
bbejot
Estoy de acuerdo con usted, escribir un programa que pruebe todos los gráficos pequeños probablemente daría una respuesta rápida.
Arnaud
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trg787
fuente
en todos estos gráficos lambda = mu
trg787
son los 3 pares más simples (no isomorfos)
trg787
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¡¡¿que es eso?!! ¿Y cómo sabes que hay al menos un camino diferente?
N27
Quiero decir, ¿cómo sabes que las listas de todas las rutas posibles entre cada par de nodos son idénticas?
N27
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De todos modos, lo siento, no entiendo lo que has probado o intentado decir ... Mi pregunta era si las 2 listas de todas las longitudes de rutas distintas entre todos los pares de nodos NO son las mismas para 2 gráficos no isomórficos.
N27